Ordre, intervalles et encadrements dans R
Ordre, intervalles et encadrements dans \(\mathbb{R}\)
Comparer des réels, les ranger dans des intervalles et les encadrer permet de résoudre des inégalités et de donner un résultat sûr même quand une mesure n'est qu'approchée.
Objectifs
- Comparer deux réels par le signe de leur différence.
- Appliquer les règles des inégalités (addition, multiplication par un positif ou un négatif, inverse).
- Lire, écrire et représenter un intervalle de \(\mathbb{R}\) ; trouver une réunion ou une intersection.
- Encadrer une somme, une différence, un produit à partir d'encadrements.
- Traduire \(|x - a| \le r\) par un intervalle, en pensant « distance ».
Notions clés
- Comparer : \(a \le b \iff b - a \ge 0\).
- Intervalle : ensemble de tous les réels compris entre deux bornes, par exemple \([2\,;\,5]\) ou \(]-\infty\,;\,3[\).
- Encadrement : \(a \le x \le b\) ; son amplitude est \(b - a\).
- Valeur approchée : par défaut (en dessous) ou par excès (au-dessus), à une précision donnée.
- Distance : \(|x - a|\) est la distance entre les points d'abscisses \(x\) et \(a\) sur la droite graduée.
1. Comparer et transformer des inégalités
Pour comparer deux réels \(a\) et \(b\), on étudie le signe de \(b - a\). Puis on transforme une inégalité avec ces règles :
- Ajouter ou soustraire le même nombre : le sens ne change pas. Si \(a \le b\), alors \(a + c \le b + c\).
- Multiplier ou diviser par un nombre strictement positif : le sens ne change pas.
- Multiplier ou diviser par un nombre strictement négatif : le sens change. Si \(a \le b\), alors \(-3a \ge -3b\).
- Pour deux réels strictement positifs, passer à l'inverse change le sens : si \(0 < a \le b\), alors \(\dfrac{1}{a} \ge \dfrac{1}{b}\).
- Pour deux réels positifs, passer au carré conserve le sens : si \(0 \le a \le b\), alors \(a^2 \le b^2\).
On sait que a < b. Que peut-on dire de −2a et −2b ?
2. Les intervalles
| Inégalité | Intervalle | Lecture |
|---|---|---|
| \(a \le x \le b\) | \([a\,;\,b]\) | fermé : les deux bornes sont incluses |
| \(a < x < b\) | \(]a\,;\,b[\) | ouvert : les bornes sont exclues |
| \(a \le x < b\) | \([a\,;\,b[\) | fermé en \(a\), ouvert en \(b\) |
| \(x \ge a\) | \([a\,;\,+\infty[\) | du côté de \(+\infty\), toujours ouvert |
| \(x < b\) | \(]-\infty\,;\,b[\) | du côté de \(-\infty\), toujours ouvert |
L'intersection \(I \cap J\) contient les réels qui sont dans \(I\) et dans \(J\) ; la réunion \(I \cup J\) ceux qui sont dans \(I\) ou dans \(J\). Par exemple : \([1\,;\,6] \cap\, ]4\,;\,9] = \,]4\,;\,6]\) et \([1\,;\,6] \cup\, ]4\,;\,9] = [1\,;\,9]\).
Que signifie x ∈ ]−1 ; 4] ?
3. Encadrements, valeurs approchées et distance
Valeurs approchées. Comme \(1{,}41^2 = 1{,}9881\) et \(1{,}42^2 = 2{,}0164\), on a \(1{,}41 < \sqrt{2} < 1{,}42\) : \(1{,}41\) est une valeur approchée de \(\sqrt{2}\) par défaut à \(10^{-2}\) près et \(1{,}42\) par excès.
Encadrer une somme ou un produit. Si \(a \le x \le b\) et \(c \le y \le d\) :
\[ \begin{align} a + c &\le x + y \le b + d\\ a - d &\le x - y \le b - c \qquad \text{(on ajoute l'encadrement de } -y \text{)}\\ ac &\le xy \le bd \qquad \text{(si } a \text{ et } c \text{ sont positifs)} \end{align} \]Distance et valeur absolue. \(|x - a| \le r\) signifie « \(x\) est à une distance d'au plus \(r\) de \(a\) », donc \(x \in [a - r\,;\,a + r]\).
Étape 1 : on repère le centre, le réel 3, car \(|x - 3|\) est la distance entre \(x\) et 3.
Étape 2 : on se déplace d'au plus 2 unités de chaque côté du centre.
Étape 3 : on obtient tous les réels de 1 à 5, bornes comprises car l'inégalité est large : l'intervalle \([1\,;\,5]\).
À quel intervalle appartient x si |x − 2| < 3 ?
Exemples résolus
Exemple 1 : résoudre une inégalité
Résous \(-3x + 5 \le 11\) et donne l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle.
Exemple 2 : clôturer un champ à Thiès
Un champ rectangulaire mesure 25 m sur 12 m, longueurs arrondies au mètre. Donc \(24{,}5 \le L \le 25{,}5\) et \(11{,}5 \le \ell \le 12{,}5\). Encadre le périmètre, puis l'aire. Le grillage coûte 1 500 F CFA le mètre : encadre le prix de la clôture.
Voir la solution
\[ \begin{align} 24{,}5 + 11{,}5 &\le L + \ell \le 25{,}5 + 12{,}5 &&\text{soit } 36 \le L + \ell \le 38\\ 72 &\le 2(L + \ell) \le 76 &&\text{(périmètre en m)}\\ 24{,}5 \times 11{,}5 &\le L \times \ell \le 25{,}5 \times 12{,}5 &&\text{soit } 281{,}75 \le \mathcal{A} \le 318{,}75\ \text{m}^2\\ 72 \times 1500 &\le \text{prix} \le 76 \times 1500 &&\text{soit } 108\,000 \le \text{prix} \le 114\,000\ \text{F CFA} \end{align} \]Le propriétaire doit prévoir au moins 114 000 F CFA pour être sûr d'avoir assez de grillage.
Exemple 3 : encadrer un inverse
On sait que \(2 \le x \le 5\). Encadre \(\dfrac{1}{x}\), puis \(3 - \dfrac{1}{x}\).
Erreurs fréquentes
- Oublier de changer le sens en multipliant ou en divisant par un nombre négatif.
- Soustraire les encadrements borne à borne : pour \(x - y\), on fait \(a - d\) et \(b - c\), jamais \(a - c\) et \(b - d\).
- Mal tourner les crochets : inégalité stricte → crochet ouvert ; infini → toujours ouvert.
- Passer au carré des nombres négatifs : \(-3 < 2\) mais \(9 > 4\). La règle du carré ne vaut que pour des nombres positifs.
On sait que 2 ≤ x ≤ 5 et 1 ≤ y ≤ 3. Quel est le bon encadrement de x − y ?
Récapitulatif
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