Introduction

En géométrie dans l'espace, deux vecteurs ou deux plans peuvent être perpendiculaires, c'est-à-dire qu'ils forment un angle droit. Cela s'appelle l'orthogonalité.

Pour comprendre cette notion, on peut faire une analogie avec un croisé de axes : si deux axes se croisent à angle droit, ils sont orthogonaux.

Vecteurs orthogonaux

Considérons deux vecteurs dans l'espace l{'y} = \mathbb{R}^3 :

• \( ec{u} = (u_1, u_2, u_3) \)
• \( ec{v} = (v_1, v_2, v_3) \)

Ils sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul :

Produit scalaire :

Donc, \(ec{u}\) et \(ec{v}\) sont orthogonaux si :

Plans orthogonaux

Deux plans dans l'espace sont orthogonaux si leur vecteur normal (le vecteur perpendiculaire à chaque plan) sont orthogonaux.

Si \( ec{n}_1 \) et \( ec{n}_2 \) sont deux vecteurs normaux, ils sont orthogonaux si :

Dans ce cas, les deux plans sont perpendiculaires entre eux.

Exemples rapides

• Vérifier si \( ec{u} = (1, 0, 0) \) et \( ec{v} = (0, 1, 0) \) sont orthogonaux :

Calcul : \( 1 imes 0 + 0 imes 1 + 0 imes 0 = 0 \). Donc, oui, ils sont orthogonaux.

• Deux plans dont les normales sont \( (1, 2, 3) \) et \( (4, -8, 2) \). Vérifions leur orthogonalité :

Calcul : \( 1 imes 4 + 2 imes (-8) + 3 imes 2 = 4 - 16 + 6 = -6 eq 0 \). Donc, ces plans ne sont pas orthogonaux.