Oscillateur électrique libre (circuit LC / RLC)

Un oscillateur électrique libre échange énergie entre condensateur et inductance : sans perte il oscille à la pulsation propre \(\omega_0\), sinon les résistances amortissent.

Objectifs

Écrire l'équation différentielle d'un circuit série RLC libre.
Déterminer la pulsation propre \(\omega_0\), la condition d'amortissement et les solutions (sous-amorti, critique, apériodique).
Calculer période, fréquence, amortissement et facteur de qualité \(Q\).

Quel est l'objectif principal pour comprendre un oscillateur LC ?

Prédire la pulsation et l'amortissement des oscillations
Savoir mesurer la tension alternative seulement
Connaître la couleur des composants

On cherche à prédire la pulsation et l'amortissement pour décrire le comportement temporel du circuit.

Notions clés

Équation différentielle (série)

Pour un circuit série formé de l'inductance \(L\), de la résistance \(R\) et du condensateur \(C\), la charge \(q(t)\) sur le condensateur vérifie :

\(L \dfrac{d^{2}q}{dt^{2}} + R \dfrac{dq}{dt} + \dfrac{q}{C} = 0\)

On définit la pulsation propre et le coefficient d'amortissement :

\(\omega_{0} = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}\), \quad \(\alpha = \dfrac{R}{2L}\)

Solutions selon l'amortissement

Comparer \(\alpha\) et \(\omega_0\) donne trois cas :

Sous-amorti (oscillations) : \(\alpha < \omega_0\). \(q(t)=Q_0 e^{-\alpha t}\cos(\omega t+\varphi)\) avec \(\omega=\sqrt{\omega_0^{2}-\alpha^{2}}\).
Critique : \(\alpha=\omega_0\). Réponse rapide sans oscillation périodique (amortissement critique).
Apériodique (sur-amorti) : \(\alpha>\omega_0\). Pas d'oscillation, décroissance monotone (somme d'exponentielles réelles).

Énergie et facteur de qualité

Énergie stockée :

\(E(t)=\dfrac{1}{2}C v^{2}(t) + \dfrac{1}{2}L i^{2}(t)\)

Facteur de qualité du circuit série :

\(Q = \dfrac{\omega_0 L}{R} = \dfrac{1}{R}\sqrt{\dfrac{L}{C}}\)

Quel critère détermine si les oscillations sont amorties de façon oscillatoire ?

Comparer \(R\) et \(C\)
Comparer \(\alpha\) et \(\omega_0\)
Comparer \(L\) et \(C\)

C'est la comparaison entre le coefficient d'amortissement \(\alpha\) et la pulsation propre \(\omega_0\) qui fixe la nature des solutions.

Schéma du circuit (montage et lancement)

Étape 1 : on prépare le circuit en chargeant le condensateur (interrupteur ouvert).

Étape 2 : on ferme l'interrupteur, la charge peut circuler et initier des oscillations entre C et L.

Exemples résolus

Voir la solution

Étape 1 : calcul de \(\omega_0\).

On a \(\omega_0=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}\). Avec \(L=100\times10^{-3}\ \mathrm{H}\) et \(C=10\times10^{-6}\ \mathrm{F}\) :

\[LC = (100\times10^{-3})(10\times10^{-6}) = 1.0\times10^{-6}\quad\Rightarrow\quad \omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{1.0\times10^{-6}}} = 1000\ \mathrm{rad\cdot s^{-1}}.\]

Étape 2 : période \(T\).

\[T = \dfrac{2\pi}{\omega_0} = \dfrac{2\pi}{1000} \approx 6.28\times10^{-3}\ \mathrm{s} = 6.28\ \mathrm{ms}.\]

Voir la solution

Étape 1 : \(\alpha = \dfrac{R}{2L} = \dfrac{10}{2\times0.1} = 50\ \mathrm{s^{-1}}.\)

Étape 2 : on compare \(\alpha\) et \(\omega_0\). Ici \(\omega_0=1000\ \mathrm{s^{-1}}\) donc \(\alpha < \omega_0\) : sous-amorti.

Étape 3 : pulsation amortie \(\omega = \sqrt{\omega_0^{2}-\alpha^{2}}\).

\[\omega = \sqrt{1000^{2}-50^{2}} = \sqrt{1\,000\,000 - 2\,500} = \sqrt{997\,500} \approx 998.75\ \mathrm{rad\cdot s^{-1}}.\]

Étape 4 : facteur de qualité \(Q = \dfrac{\omega_0 L}{R} = \dfrac{1000\times0.1}{10} = 10.\)

Avec les données de l'exemple 2, quel est le régime ?

Apériodique (sur-amorti)
Critique
Sous-amorti (oscillatoire)

Comme \(\alpha=50\) est bien inférieur à \(\omega_0=1000\), le régime est sous-amorti.

Erreurs fréquentes

Oublier que pour un montage série le facteur \(Q\) diminue quand \(R\) augmente.
Écrire des solutions oscillantes quand \(\alpha\geq\omega_0\).
Ne pas vérifier les unités (L en H, C en F, R en \(\Omega\) donnent \(\omega\) en rad/s).

Quelle erreur conduit à prédire des oscillations alors qu'il n'y en a pas ?

Ignorer que \(\alpha\geq\omega_0\)
Confondre \(q\) et \(i\)
Utiliser la mauvaise couleur pour la résistance

Si \(\alpha\geq\omega_0\) le système n'oscille pas : la réponse est apériodique ou critique.

Récapitulatif

Un oscillateur électrique libre se décrit par :

\(L \dfrac{d^{2}q}{dt^{2}} + R \dfrac{dq}{dt} + \dfrac{q}{C} = 0\), avec \(\omega_0=1/\sqrt{LC}\) et \(\alpha=R/(2L)\).

Cas principaux :

\(\alpha<\omega_0\) : oscillations amorties (pulsation \(\omega=\sqrt{\omega_0^{2}-\alpha^{2}}\)).
\(\alpha=\omega_0\) : amortissement critique.
\(\alpha>\omega_0\) : sur-amorti, pas d'oscillation.

Que vaut la pulsation propre d'un LC idéal ?

\(\alpha\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{LC}}\)
\(\dfrac{R}{L}\)

La pulsation propre est \(\omega_0=1/\sqrt{LC}\), caractéristique du couple inductance-condensateur.

Cartes mémo

Équation

\(L\ddot q + R\dot q + q/C = 0\)

Pulsation propre

\(\omega_0 = 1/\sqrt{LC}\)

Amortissement

\(\alpha = R/(2L)\)

Régime sous-amorti

\(\alpha < \omega_0\), \(q(t)=Q_0 e^{-\alpha t}\cos(\omega t+\phi)\)

Facteur de qualité

\(Q=\dfrac{\omega_0 L}{R}=\dfrac{1}{R}\sqrt{\dfrac{L}{C}}\)