La parabole : sommet, axe de symétrie et lien avec le polynôme du second degré

La courbe de \(f(x)=ax^2+bx+c\) est une parabole : elle a un sommet \(S\left(-\frac{b}{2a}\,;\,f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)\), elle est symétrique par rapport à la droite verticale qui passe par ce sommet, et le signe de \(a\) dit si elle s'ouvre vers le haut ou vers le bas.

Objectifs

Reconnaître qu'une fonction polynôme du second degré est représentée par une parabole.
Trouver le sommet et l'axe de symétrie d'une parabole, à partir de \(a\), \(b\), \(c\) ou de la forme canonique.
Savoir dire si la parabole est « tournée vers le haut » ou « vers le bas » selon le signe de \(a\).
Relier les points d'intersection avec l'axe des abscisses aux racines du polynôme.
Retrouver l'équation d'une parabole à partir de son sommet et d'un point.

1. La parabole, courbe du second degré

Une fonction polynôme du second degré s'écrit \(f(x)=ax^2+bx+c\) avec \(a\), \(b\), \(c\) des réels et \(a\neq 0\). Dans un repère, sa courbe représentative s'appelle une parabole.

Manipule le curseur \(a\) ci-dessous (avec \(b=0\) et \(c=0\)) : observe ce qui se passe quand \(a\) devient négatif, puis quand \(a\) grandit.

La fonction \(g(x)=-2x^2+x+7\) est représentée par une parabole. Laquelle de ces phrases est vraie ?

Elle est tournée vers le haut et \(g\) admet un minimum.
Elle coupe l'axe des ordonnées au point d'ordonnée \(-2\).
Elle est tournée vers le bas et \(g\) admet un maximum.

Ici \(a=-2<0\) : la parabole est tournée vers le bas, son sommet est un maximum. Elle coupe l'axe des ordonnées en \(g(0)=7\), pas en \(-2\).

2. L'axe de symétrie et le sommet

Définitions

Toute parabole d'équation \(y=ax^2+bx+c\) possède :

un axe de symétrie : la droite verticale d'équation \[x=-\frac{b}{2a}\]
un sommet \(S\), point de la parabole situé sur cet axe : \[S\left(\alpha\,;\,\beta\right)\quad\text{avec}\quad \alpha=-\frac{b}{2a}\quad\text{et}\quad \beta=f(\alpha).\]

La forme canonique

Tout polynôme du second degré peut s'écrire sous la forme canonique :

\[f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta.\]

Sous cette forme, on lit directement le sommet \(S(\alpha\,;\,\beta)\) et l'axe \(x=\alpha\). Joue avec les curseurs : \(h\) joue le rôle de \(\alpha\) (déplacement horizontal) et \(k\) celui de \(\beta\) (déplacement vertical).

Comment trouver le sommet

flowchart LR
A[Lire a b c] --> B[Calculer alpha egal a moins b sur 2a]
B --> C[Calculer beta egal a f de alpha]
C --> D[Sommet S alpha beta]
D --> E[Axe x egal a alpha]

Exemple résolu 1

Trouver le sommet, l'axe de symétrie et la forme canonique de \(f(x)=2x^2-8x+6\).

On lit \(a=2\), \(b=-8\), \(c=6\). Comme \(a=2>0\), la parabole est tournée vers le haut : le sommet est un minimum.

Abscisse du sommet : \[\alpha=-\frac{b}{2a}=-\frac{-8}{2\times 2}=\frac{8}{4}=2.\]

Ordonnée du sommet : \[\beta=f(2)=2\times 2^2-8\times 2+6=8-16+6=-2.\]

Donc \(S(2\,;\,-2)\), axe de symétrie \(x=2\), et la forme canonique est \(f(x)=2(x-2)^2-2\).

Vérification en développant : \[2(x-2)^2-2=2(x^2-4x+4)-2=2x^2-8x+8-2=2x^2-8x+6.\] On retrouve bien \(f(x)\).

Exemple résolu 2 : le ballon de Moussa

La hauteur du ballon (en mètres) au bout de \(t\) secondes est donnée par \(h(t)=-5t^2+20t\). À quel instant le ballon est-il le plus haut, et à quelle hauteur ? Cherche d'abord !

Voir la solution

Ici \(a=-5<0\) : la parabole est tournée vers le bas, le sommet est un maximum.

\[\alpha=-\frac{20}{2\times(-5)}=-\frac{20}{-10}=2\qquad h(2)=-5\times 4+20\times 2=-20+40=20.\]

Le ballon est au plus haut au bout de \(2\) secondes, à \(20\) mètres de hauteur. Forme canonique : \(h(t)=-5(t-2)^2+20\).

Quel est le sommet de la parabole d'équation \(y=3(x+1)^2-5\) ?

\(S(1\,;\,-5)\)
\(S(-1\,;\,-5)\)
\(S(-1\,;\,5)\)

On écrit \(3(x-(-1))^2+(-5)\) : \(\alpha=-1\) et \(\beta=-5\).

Quel est l'axe de symétrie de la parabole d'équation \(y=x^2-6x+1\) ?

La droite \(x=3\)
La droite \(x=-3\)
La droite \(x=6\)

\(\alpha=-\frac{b}{2a}=-\frac{-6}{2}=3\). L'axe est la droite verticale \(x=3\).

3. Parabole et racines du polynôme

Les points d'intersection de la parabole avec l'axe des abscisses ont pour abscisses les racines de \(ax^2+bx+c=0\). Leur nombre dépend du discriminant \(\Delta=b^2-4ac\) :

\(\Delta>0\) : deux racines \(x_1\) et \(x_2\), la parabole coupe l'axe des abscisses en deux points ;
\(\Delta=0\) : une racine double \(x_0=-\frac{b}{2a}\), la parabole touche l'axe en un seul point, qui est son sommet ;
\(\Delta<0\) : aucune racine, la parabole ne coupe pas l'axe des abscisses.

Construisons la parabole de \(f(x)=x^2-2x-3\), étape par étape.

On résout \(x^2-2x-3=0\) : \(\Delta=4+12=16\), donc \(x_1=\frac{2-4}{2}=-1\) et \(x_2=\frac{2+4}{2}=3\). La parabole coupe l'axe des abscisses en \(-1\) et \(3\).

L'axe de symétrie passe au milieu des racines : \(\alpha=\frac{-1+3}{2}=1\), c'est aussi \(-\frac{b}{2a}=\frac{2}{2}=1\).

Le sommet est sur l'axe : \(f(1)=1-2-3=-4\), donc \(S(1\,;\,-4)\). Comme \(a=1>0\), c'est le point le plus bas.

Exemple résolu 3

Les racines de \(f(x)=-x^2+4x+5\) sont \(-1\) et \(5\). Trouver le sommet de sa parabole sans utiliser la formule \(-\frac{b}{2a}\). Cherche d'abord !

L'axe passe au milieu des racines : \[\alpha=\frac{-1+5}{2}=2.\]

On calcule \(\beta=f(2)=-4+8+5=9\).

Le sommet est \(S(2\,;\,9)\). Comme \(a=-1<0\), c'est un maximum. On vérifie : \(-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{-2}=2\).

Une parabole coupe l'axe des abscisses aux points d'abscisses \(-2\) et \(6\). Quelle est l'équation de son axe de symétrie ?

\(x=4\)
\(x=8\)
\(x=2\)

L'axe passe au milieu des racines : \(\frac{-2+6}{2}=\frac{4}{2}=2\).

La parabole de \(f(x)=x^2+4x+4\) touche l'axe des abscisses en un seul point. Lequel ?

Le point d'abscisse \(2\)
Le point d'abscisse \(-2\)
Le point d'abscisse \(4\)

\(\Delta=16-16=0\) : une racine double \(-\frac{4}{2}=-2\). En effet \(f(x)=(x+2)^2\), et ce point est le sommet \(S(-2\,;\,0)\).

4. Retrouver l'équation d'une parabole

Si l'on connaît le sommet \(S(\alpha\,;\,\beta)\), on écrit \(f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta\), puis on trouve \(a\) grâce à un autre point de la parabole.

Exemple résolu 4

Une parabole a pour sommet \(S(1\,;\,-4)\) et passe par le point \(A(3\,;\,0)\). Trouver son équation sous forme développée. Cherche d'abord !

Voir la solution

On écrit \(f(x)=a(x-1)^2-4\). Comme \(A\) est sur la parabole, \(f(3)=0\) :

\[a(3-1)^2-4=0\iff 4a=4\iff a=1.\]

Donc \(f(x)=(x-1)^2-4=x^2-2x+1-4=x^2-2x-3\). C'est la parabole du schéma de la partie 3.

Une parabole a pour sommet \(S(0\,;\,2)\) et passe par \(B(1\,;\,5)\). Quelle est son équation ?

\(y=3x^2+2\)
\(y=5x^2+2\)
\(y=2x^2+3\)

\(f(x)=a(x-0)^2+2=ax^2+2\) et \(f(1)=a+2=5\), donc \(a=3\).

Récapitulatif

La courbe de \(f(x)=ax^2+bx+c\) (\(a\neq 0\)) est une parabole, tournée vers le haut si \(a>0\), vers le bas si \(a<0\).
Axe de symétrie : \(x=\alpha\) avec \(\alpha=-\frac{b}{2a}\) ; sommet \(S(\alpha\,;\,f(\alpha))\).
Forme canonique : \(f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta\), on y lit le sommet \(S(\alpha\,;\,\beta)\).
Les racines sont les abscisses des points d'intersection avec l'axe des abscisses ; elles sont symétriques par rapport à l'axe : \(\alpha=\frac{x_1+x_2}{2}\).

Ouverture de la parabole

Vers le haut si \(a>0\) (minimum), vers le bas si \(a<0\) (maximum).

Axe de symétrie

La droite verticale \(x=-\frac{b}{2a}\).

Sommet

\(S(\alpha\,;\,\beta)\) avec \(\alpha=-\frac{b}{2a}\) et \(\beta=f(\alpha)\).

Forme canonique

\(f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta\).

Racines et axe

L'axe passe au milieu des racines : \(\alpha=\frac{x_1+x_2}{2}\).