Introduction

Les fonctions jouent un rôle central en mathématiques. Parmi elles, certaines présentent des symétries particulières appelées parité. Nous allons découvrir ce que sont une fonction paire et une fonction impaire.

Définition de la parité d'une fonction

Une fonction \(f\) définie sur un ensemble symétrique par rapport à l'origine (par exemple \(\mathbb{R}\)) est :

• paires si :
• \(f(-x) = f(x)\) pour tout \(x\) dans le domaine de définition de \(f\).
• impaires si :
• \(f(-x) = -f(x)\) pour tout \(x\) dans le domaine de définition de \(f\).

Exemples

Fonction paire

Par exemple, la fonction \(f(x) = x^2\) est paire, car :

\[f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)\]

Fonction impaire

La fonction \(f(x) = x^3\) est impaire, car :

\[f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)\]

Représentation graphique

Sur un graphique, une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe vertical \(O_y\).
Une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine.

Vérification de la parité

Pour déterminer si une fonction est paire ou impaire, il faut :

1. Démontrer l'égalité \(f(-x) = f(x)\) ou \(f(-x) = -f(x)\).
2. Ou examiner la symétrie sur son graphique.