Généralités sur les fonctions

Parité des fonctions : Fonction paire et impaire

1. Définitions

• Fonction paire : une fonction \(f\) est paire si, pour tout réel \(x\), elle vérifie :
  • \[ f(-x) = f(x) \]
  • La courbe de la graphique est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (l'axe vertical).
• Fonction impaire : une fonction \(f\) est impaire si, pour tout réel \(x\), elle vérifie :
  • \[ f(-x) = -f(x) \]
  • La courbe de la graphique est symétrique par rapport à l'origine du repère.
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2. Exemples

• Fonction paire : \(f(x) = x^2\)
• Fonction impaire : \(f(x) = x^3\)

3. Vérification de la parité

Pour vérifier si une fonction est paire ou impaire, on remplace \(x\) par \(-x\) dans son expression :

• Si \(f(-x) = f(x)\), alors la fonction est paire.
• Si \(f(-x) = -f(x)\), alors la fonction est impaire.
• Dans le cas contraire, la fonction n'est ni paire ni impaire.

4. Conclusion

Les fonctions paires et impaires ont des propriétés symétriques importantes en mathématiques, notamment pour le tracé de graphs et le développement en série de Fourier.