Parité des fonctions — paire / impaire

Une fonction est paire si son graphe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, impaire si son graphe est symétrique par rapport à l'origine.

Objectifs

Comprendre les définitions de fonction paire et impaire.
Savoir vérifier la parité d'une fonction algébrique simple.
Visualiser la symétrie géométrique sur un graphe.

Notions clés

Définition — paire

Formellement : si \(D\) est le domaine de \(f\), alors \(f\) est paire si

\[\forall x\in D,\quad f(-x)=f(x).\]

Définition — impaire

Formellement :

\[\forall x\in D,\quad f(-x)=-f(x).\]

Remarque : une fonction non nulle peut être ni paire ni impaire. Une fonction peut être à la fois paire et impaire seulement si elle est nulle sur tout son domaine (\(f(x)=0\)).

Étape 1 : vérifier que \(-x\) appartient au domaine pour tout \(x\) du domaine.

Étape 2 : calculer \(f(-x)\) et comparer à \(f(x)\) ou \(-f(x)\).

Étape 3 : conclure — paire, impaire, ou aucune des deux.

Question de synthèse : Quelle égalité caractérise une fonction paire ?

\(f(-x)=f(x)\)
\(f(-x)=-f(x)\)
\(f(x)=-f(x)\)

Une fonction est paire exactement si \(f(-x)=f(x)\).

Visualisation (graphiques)

Voici deux courbes à manipuler : la parabole \(y=x^2\) (paire) et la cubique \(y=x^3\) (impaire).

Sur le graphe, quelle propriété correspond à une fonction impaire ?

Symétrie par rapport à l'axe des ordonnées.
Symétrie centrale par rapport à l'origine.
Être décroissante pour \(x>0\).

Impaire signifie symétrie centrale : \(f(-x)=-f(x)\), donc le point \((-x,-y)\) est l'image de \((x,y)\).

Exemples résolus

Exemple 1 — \(f(x)=x^2\)

Cherche d'abord : est-ce que \(f(-x)\) vaut \(f(x)\) ou \(-f(x)\) ?

Voir la solution

Calcul : \(f(-x)=(-x)^2\).

Développement : \((-x)^2 = x^2\).

Conclusion : \(f(-x)=x^2=f(x)\), donc \(f\) est paire.

En formules :

\begin{align} f(-x) &= (-x)^2 \\ &= x^2 \\ &= f(x) \end{align}

Exemple 2 — \(g(x)=x^3\)

Cherche d'abord : comparer \(g(-x)\) et \(-g(x)\).

Voir la solution

Calcul : \(g(-x)=(-x)^3\).

Développement : \((-x)^3 = -x^3\).

Conclusion : \(g(-x)=-x^3=-g(x)\), donc \(g\) est impaire.

En formules :

\begin{align} g(-x) &= (-x)^3 \\ &= -x^3 \\ &= -g(x) \end{align}

Parmi ces fonctions, laquelle est impaire ?

\(h(x)=x^2+1\)
\(k(x)=|x|\)
\(m(x)=x^3\)

Seule \(x^3\) vérifie \(m(-x)=-m(x)\).

Erreurs fréquentes

Penser qu'une somme de fonctions paires est toujours impaire : faux (somme de paires est paire).
Penser que \(f(x)=x\) est paire : non, elle est impaire.
Oublier de vérifier le domaine : si \(f\) n'est pas définie pour \(-x\), on ne peut pas parler de parité.

La somme de deux fonctions paires est :

Impaire.
Paire.
Ni l'un ni l'autre forcément.

Si \(f\) et \(g\) sont paires, alors \((f+g)(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=(f+g)(x)\).

Récapitulatif

Paare : \(f(-x)=f(x)\) — symétrie axiale (axe des ordonnées).
Impaire : \(f(-x)=-f(x)\) — symétrie centrale (origine).
Vérifier toujours le domaine avant d'appliquer la définition.

Définition paire

\(\forall x,\ f(-x)=f(x)\)

Définition impaire

\(\forall x,\ f(-x)=-f(x)\)

Fonction paire classique

\(x^2,\ \cos x\)

Fonction impaire classique

\(x^3,\ \sin x\)