1. Définition des fonctions paires et impaires

Une fonction \(f\) est dite paire si, pour tout réel \(x\), elle vérifie :

• \[f(-x) = f(x)\]

Une fonction \(f\) est dite impaire si, pour tout réel \(x\), elle vérifie :

• \[f(-x) = -f(x)\]

Exemples :

• La fonction \(f(x) = x^2\) est paire. Vérification : \(f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)\).
• La fonction \(f(x) = x^3\) est impaire. Vérification : \(f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)\).

2. Représentation graphique

Sur un graphique :

• Une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (axe vertical).
• Une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine.

Illustration :

3. Propriétés importantes

• La somme de deux fonctions paires est paire.
• La somme de deux fonctions impaires est impaire.
• Le produit d'une fonction paire par une fonction paire est paire.
• Le produit d'une fonction impaire par une fonction impaire est paire.
• Le produit d'une fonction paire par une fonction impaire est impaire.

Exemples :

• \[f(x) = x^2 ext{ (paire)}, \quad g(x) = x^4 ext{ (paire)} \implies f(x)+g(x) ext{ est paire}\].
• \[f(x) = x^3 ext{ (impaire)}, \quad g(x) = x ext{ (impaire)} \implies f(x)+g(x) ext{ est impaire}\].

4. Cas particuliers

Une fonction peut être

• paire et impaire en même temps si et seulement si elle est constante et égale à zéro, c'est-à-dire \(orall x, f(x) = 0\).
• Ni l'une ni l'autre, dans la majorité des cas.