Définitions

Une fonction f est paire si f(-x) = f(x) pour tout x de son domaine D symétrique par rapport à 0. Elle est impaire si f(-x) = -f(x) pour tout x de D.

Domaines et symétrie

Pour tester la parité, le domaine doit être symétrique: si a ∈ D alors -a ∈ D. On peut tester la parité sur l'ensemble des réels, ou sur un intervalle symétrique comme [-a, a].

Tests rapides

• Tester la parité d'une fonction f: remplacer x par -x et comparer f(-x) avec f(x).
• Si f(-x) = f(x) pour tout x, f est paire. Si f(-x) = -f(x) pour tout x, f est impaire. Sinon, f n'est ni paire ni impaire.

Exemples classiques

• f(x) = x^2 est paire (f(-x) = x^2 = f(x)).
• f(x) = x^3 est impaire (f(-x) = -x^3 = -f(x)).
• f(x) = |x| est paire.
• f(x) = cos x est paire, f(x) = sin x est impaire (dans le domaine réel).

Propriétés utiles

• Somme: si f et g sont paires, f+g est paire. si f et g sont impaires, f+g est impaire. En général, une somme peut être ni paire ni impaire si les termes de parité différente sont ajoutés.
• Produit: produit de deux fonctions paires est pair; produit de deux fonctions impaires est pair; produit d'une paire et d'une impaire est impair.
• Composition: si g est paire, alors f∘g est paire. Si g est paire et f est impair, etc. En pratique: h(x) = f(g(x)) est paire lorsque g est paire; si g est impair et f est impair alors h est impair.

Erreurs fréquentes

• Confondre le fait qu'une somme de fonctions paires et impaires peut être ni l'une ni l'autre.
• Supposer que le produit de deux fonctions paires est nécessairement impair (ce n'est pas le cas: c'est pair).

Exercices courts

1. Déterminez si les fonctions suivantes sont paires, impaires ou ni l'une ni l'autre: a) f(x) = x^2; b) g(x) = x^3; c) h(x) = |x|; d) p(x) = x^2 + x.
2. Énoncez la parité de: cos x, sin x