Fonctions paires et impaires

Une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine.

Objectifs

Comprendre et reconnaître les définitions de fonction paire et impaire.
Savoir tester une fonction par substitution de \(x\) par \(-x\).
Voir des exemples simples et connaître les erreurs fréquentes.

Notion : fonction paire

Définition. On dit qu'une fonction \(f\) définie sur un ensemble \(D\subset\mathbb{R}\) est paire si :

le domaine \(D\) est symétrique (c'est-à-dire \(x\in D\Rightarrow -x\in D\)) et

\[ f(-x)=f(x) \quad \text{pour tout }x\in D. \]

Exemple résolu

Montrer que \(f(x)=x^{2}\) est paire sur \(\mathbb{R}\).

Étape 1 : calculer \(f(-x)\) : \(f(-x)=(-x)^{2}\).

Étape 2 : simplifier : \((-x)^{2}=x^{2}\).

Étape 3 : conclure : \(f(-x)=x^{2}=f(x)\), donc \(f\) est paire (son domaine \(\mathbb{R}\) est symétrique).

Quelle des fonctions suivantes est paire ?

\(f(x)=x^{3}\)
\(g(x)=x^{2}\)
\(h(x)=x+1\)

La bonne réponse est g parce que \(g(-x)=(-x)^{2}=x^{2}=g(x)\).

Notion : fonction impaire

Définition. On dit qu'une fonction \(f\) définie sur \(D\) est impaire si :

le domaine \(D\) est symétrique et

\[ f(-x)=-f(x) \quad \text{pour tout }x\in D. \]

Exemple résolu

Montrer que \(f(x)=x^{3}\) est impaire sur \(\mathbb{R}\).

Étape 1 : calculer \(f(-x)\) : \(f(-x)=(-x)^{3}\).

Étape 2 : simplifier : \((-x)^{3}=-x^{3}\).

Étape 3 : conclure : \(f(-x)=-x^{3}=-f(x)\), donc \(f\) est impaire.

Parmi ces fonctions, laquelle est impaire ?

\(x\mapsto x^{3}\)
\(x\mapsto x^{2}\)
\(x\mapsto 1\)

La bonne réponse est 1 car \((-x)^{3}=-x^{3}=-f(x)\).

Visualisation

Regarde la symétrie des courbes suivantes (modifie les paramètres si besoin) :

Schéma simplifié montrant la symétrie pour une valeur donnée :

Que montre le point vert et son symétrique ?

Une symétrie centrale
Une absence de symétrie
Une symétrie axiale (paire)

La bonne réponse est 3 : les points verts ont la même ordonnée, symétrie par rapport à l'axe des ordonnées.

Erreurs fréquentes

Autre erreur : oublier la condition sur le domaine. Exemple : une fonction définie seulement pour \(x\geq 0\) ne peut pas être évaluée pour \(-x\) si \(-x\) sort du domaine.

Si \(f\) est définie seulement sur \([0,+\infty[\), peut-on dire qu'elle est paire sur \(\mathbb{R}\) ?

Oui, si \(f(0)=0\)
Non, car son domaine n'est pas symétrique
Oui, toujours

La bonne réponse est 2 : la définition exige que pour tout \(x\) du domaine, \(-x\) y soit aussi défini.

Exercices rapides (auto-correction)

Pour chaque fonction ci-dessous, calculez \(f(-x)\) et décidez si la fonction est paire, impaire ou aucune des deux.

\(f(x)=x^{4}\)
\(g(x)=\sin(x)\) (rappel : \(\sin(-x)=-\sin(x)\))
\(h(x)=\cos(x)\) (rappel : \(\cos(-x)=\cos(x)\))

Voir les réponses

1) paire car \(f(-x)=(-x)^{4}=x^{4}=f(x)\).

2) impaire car \(\sin(-x)=-\sin(x)\).

3) paire car \(\cos(-x)=\cos(x)\).

Récapitulatif

Paire : \(f(-x)=f(x)\) (symétrie axiale par rapport à l'axe \(y\)).
Impaire : \(f(-x)=-f(x)\) (symétrie centrale par rapport à l'origine).
Condition essentielle : le domaine doit être symétrique.
Fonction nulle \(f(x)=0\) est à la fois paire et impaire (cas particulier).

Cartes mémo

Définition paire

\(f(-x)=f(x)\) et domaine symétrique

Définition impaire

\(f(-x)=-f(x)\) et domaine symétrique

Tester la parité

Calculer \(f(-x)\) puis comparer à \(f(x)\)

Domaine

Le domaine doit contenir \(x\) et \(-x\)