Parité et comparaison de fonctions : Résolution d’équations du type \(f(x) = g(x)\) ou \(f(x) < g(x)\)

Introduction

En classe de 2nde, il est important d’apprendre à résoudre des équations et inéquations impliquant des fonctions. Cela inclut la recherche des solutions de \(f(x) = g(x)\) ou \(f(x) < g(x)\). Pour cela, on compare deux fonctions et on analyse leur comportement.

Étape 1 : Étudier la nature des fonctions

• Fonctions polynomiales, rationnelles, exponentielles, logarithmiques...
• Vérifier que les fonctions sont définies sur le même domaine.

Étape 2 : Résoudre une équation \(f(x) = g(x)\)

1. Formez la fonction différence : \(h(x) = f(x) - g(x)\).
2. Résolvez l’équation \(h(x) = 0\), c’est-à-dire trouvez les solutions de \(f(x) = g(x)\).
3. Pour résoudre \(h(x) = 0\), utilisez si besoin les méthodes classiques : factorisation, formule, tableau de signes.

Exemple

Résolvons \(x^2 + 3x = 0\).

• Reformulation : \(h(x) = x^2 + 3x\).
• Équation : \(x^2 + 3x = 0\).
• Factoriser : \(x(x + 3) = 0\).
• Solutions : \(x = 0\) ou \(x = -3\).

Étape 3 : Résoudre une inéquation \(f(x) < g(x)\)

1. De nouveau, former la différence \(h(x) = f(x) - g(x)\).
2. Étudier le signe de \(h(x)\) :
• Tracer le tableau de signes de \(h(x)\).
• Les solutions de l’inéquation sont les valeurs de \(x\) pour lesquelles \(h(x) < 0\).
3. Résoudre \(h(x) < 0\) en utilisant la table de signes.

Exemple

Résolvons l’inéquation \(x^2 - 4 < 0\).

• Reformulation : \(h(x) = x^2 - 4\).
• Factorisation : \(h(x) = (x - 2)(x + 2)\).
• Table de signes :

x	-∞
\(x < -2\)	positive
\(-2 < x < 2\)	négative
\(x > 2\)	positive

Solutions : \(x \in ] -2, 2 [\), car \(h(x) < 0\) dans cet interval.

Conclusion

Pour résoudre \(f(x) = g(x)\) ou \(f(x) < g(x)\), il faut : - Former une nouvelle fonction \(h(x) = f(x) - g(x)\); - Résoudre \(h(x) = 0\) ou analyser le signe de \(h(x)\); - Interpréter les résultats pour obtenir les solutions ou l’ensemble solution.