Parité et comparaison de fonctions : Résolution d’équations du type f(x) = g(x) ou f(x) < g(x)

Introduction

En mathématiques, il est fréquent d'étudier des relations entre deux fonctions, notamment en résolvant des équations telles que f(x) = g(x) ou g(x) - f(x) > 0. Cela permet de déterminer pour quelles valeurs de x ces relations sont vraies.

Étude des fonctions f et g

• Parité : une fonction est paire si f(-x) = f(x) pour tout x ; elle est impaire si f(-x) = -f(x).
• Comparaison : pour comparer f(x) et g(x), on étudie le signe de la différence h(x) = g(x) - f(x).

Résolution de l’équation f(x) = g(x)

1. On considère h(x) = g(x) - f(x).
2. On résout l'équation h(x) = 0, c'est-à-dire g(x) = f(x).
3. Les solutions x sont celles pour lesquelles f(x) = g(x).

Exemple : Si f(x) = x² + 1 et g(x) = 2x + 3, on cherche x tel que x² + 1 = 2x + 3. => Résoudre x² - 2x - 2 = 0

Résolution de l’inéquation f(x) < g(x)

1. On étudie le signe de h(x) = g(x) - f(x).
2. On résout l'inéquation h(x) > 0, c'est-à-dire g(x) > f(x).
3. Les ensembles de solutions sont ceux où h(x) est positif.

Exemple : Avec f(x) = x² + 1 et g(x) = 2x + 3, on résout 2x + 3 > x² + 1, c'est-à-dire x² - 2x - 2 < 0.

Conclusion

La résolution d’équations ou d’inéquations entre deux fonctions repose sur la comparaison de leurs valeurs, généralement en étudiant le signe de leur différence. La mise en place d'une étude du signe de la fonction h(x) = g(x) - f(x) est essentielle pour déterminer les solutions recherchées.