Parité et comparaison de fonctions : Résolution d'équations et d'inéquations

Introduction

En mathématiques, il est fréquent de comparer deux fonctions ou de résoudre des équations du type \(f(x) = g(x)\) ou \(f(x) < g(x)\). Ces opérations permettent de déterminer où deux courbes se coupent ou de connaître les intervalles où une fonction est supérieure à une autre.

1. Résolution d'une équation \(f(x) = g(x)\)

Pour résoudre \(f(x) = g(x)\), il faut :

1. Revenir à l'équation \(f(x) - g(x) = 0\).
2. Définir la fonction \(h(x) = f(x) - g(x)\).
3. Résoudre l'équation \(h(x) = 0\). Les solutions sont les valeurs de \(x\) où \(f(x)\) coupe \(g(x)\).

Exemple : Si \(f(x) = x^2 + 1\) et \(g(x) = 2x + 3\), alors :

h(x) = x^2 + 1 - (2x + 3) = x^2 - 2x - 2

Pour résoudre \(h(x) = 0\) :

x^2 - 2x - 2 = 0\

On peut appliquer la formule du discriminant ou factoriser si possible.

2. Résolution d'une inéquation \(f(x) < g(x)\) ou \(f(x) > g(x)\)

De même, on définit \(h(x) = f(x) - g(x)\), puis on étudie le signe de \(h(x)\):

• Si \(h(x) > 0\), alors \(f(x) > g(x)\).
• Si \(h(x) < 0\), alors \(f(x) < g(x)\).

La résolution consiste à :

1. Résoudre \(h(x) = 0\), ce qui donne les valeurs où les deux fonctions se croisent.
2. Étudier le signe de \(h(x)\) sur les intervalles déterminés par ces solutions, en utilisant un tableau de signes.

3. Exemple complet

Considérons :

f(x) = x^2 - 4x + 3, \quad g(x) = 2x - 1

On recherche les solutions de \(f(x) = g(x)\).

h(x) = (x^2 - 4x + 3) - (2x - 1) = x^2 - 6x + 4

Résolvons \(h(x) = 0\) :

x^2 - 6x + 4 = 0\

Discriminant :

\(\Delta = (-6)^2 - 4 imes 1 imes 4 = 36 - 16 = 20\)

Solutions :

x = rac{6 \pm \sqrt{20}}{2} = 3 \pm \sqrt{5}\

Pour étudier où \(f(x) > g(x)\), on regarde le signe de \(h(x)\) entre ces racines :

• Pour x < \(3 - \sqrt{5}\), tester avec une valeur : par ex., x=0 :

h(0) = 0 - 0 + 4 = 4 > 0 \Rightarrow h(x) > 0 \Rightarrow f(x) > g(x)

• Entre \(3 - \sqrt{5}\) et \(3 + \sqrt{5}\), tester avec x=3 :

h(3) = 9 - 18 + 4 = -5 < 0 \Rightarrow h(x)<0 \Rightarrow f(x)

• Pour x > \(3 + \sqrt{5}\), tester avec x=10 :

h(10) = 100 - 60 + 4 = 44 > 0 \Rightarrow h(x)>0 \Rightarrow f(x)>g(x)

Conclusion

Les méthodes pour comparer ou résoudre des équations entre fonctions consistent à :

• Mettre l'équation ou l'inéquation sous forme de différence \(h(x)\).
• Résoudre l'équation \(h(x) = 0\) pour trouver les points d'intersection.
• Étudier le signe de \(h(x)\) pour déterminer les intervalles de comparaison.