Comparer deux fonctions revient à regarder où leurs courbes se croisent (\(f(x)=g(x)\)) et où l'une est au-dessus de l'autre (\(f(x)g(x)\)).

Parité et comparaison de fonctions — Résolution de \(f(x)=g(x)\) et \(f(x)

Objectifs

Comprendre que résoudre \(f(x)=g(x)\) revient à résoudre \(h(x)=0\) avec \(h(x)=f(x)-g(x)\).
Savoir transformer une inéquation \(f(x)
Utiliser le calcul algébrique et la représentation graphique pour vérifier les solutions.

Quel est le premier geste pour résoudre \(f(x)=g(x)\) ?

Poser \(h(x)=f(x)-g(x)\) et résoudre \(h(x)=0\)
Tracer les courbes sans calcul
Calculer la dérivée de \(f\) et \(g\)

On commence algébriquement en posant \(h(x)=f(x)-g(x)\) puis on cherche ses zéros.

Notions clés

Définition utile : si \(f\) et \(g\) sont deux fonctions, on pose \(h(x)=f(x)-g(x)\). Alors

équivalence : \(f(x)=g(x)\) est équivalent à \(h(x)=0\), et \(f(x)

Méthode générale :

Calculer \(h(x)=f(x)-g(x)\).
Résoudre algébriquement \(h(x)=0\) (factorisation, formule quadratique, etc.).
Pour une inéquation, étudier le signe de \(h(x)\) (tableau de signes).
Compléter par une vérification graphique si besoin.

Figure : la parabole croise la droite en deux points (solutions de \(x^2=2x+1\)).

Résolution type (quadratique) :

Étape 1 : poser \(h(x)=f(x)-g(x)\).

Étape 2 : développer et mettre sous la forme standard \(ax^2+bx+c=0\).

Étape 3 : utiliser la factorisation ou la formule quadratique.

Étape 4 : vérifier graphiquement avec une courbe ou en testant des valeurs.

Exemple détaillé (résolution algébrique) :

\begin{align} x^2 &= 2x + 1 \\ x^2 - 2x - 1 &= 0 \\ \Delta &= (-2)^2 - 4 \times 1 \times (-1) = 4 + 4 = 8 \\ x &= \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = 1 \pm \sqrt{2} \end{align}

Si \(h(x)=f(x)-g(x)\), que cherche-t-on pour résoudre \(f(x)

Les points où \(h(x)>0\)
Les intervalles où \(h(x)<0\)
Les dérivées de \(f\) et \(g\)

Pour \(f(x)

Exemples résolus

Étape 1 : poser \(h(x)=x^2-(2x+1)=x^2-2x-1\).

Étape 2 : calculer le discriminant \(\Delta = (-2)^2 -4\times1\times(-1)=8\).

Étape 3 : appliquer la formule : \(x=\dfrac{2\pm\sqrt{8}}{2}=1\pm\sqrt{2}\).

Étape 4 : on peut vérifier sur le graphique que la parabole et la droite se croisent en ces deux abscisses.

Graphique interactif Visualisez les intersections et déplacez l'échelle si besoin.

Voir la solution

Posons \(h(x)=x^2 - x = x(x-1)\). On cherche \(x(x-1)<0\).

La droite produit un produit nul en \(x=0\) et \(x=1\). Étudions le signe :

Pour \(x<0\): \(x\) négatif, \(x-1\) négatif → produit positif.

Pour \(0

Pour \(x>1\): produit positif.

Donc la solution est \(0

Quelle est la solution de \(x^2 < x\) ?

\(x<0\)
\(x>1\)
\(0

On factorise et on étudie le signe du produit : \(x(x-1)<0\) donne \((0,1)\).

Erreurs fréquentes

Erreur : conclure que si \(h(a)=0\) alors \(a\) est solution de \(h(x)<0\) — faux : \(h(a)=0\) ne vérifie pas strictement \(<0\).
Erreur : oublier de vérifier le domaine de définition (ex. division par zéro ou racine d'un nombre négatif).
Astuce : toujours dresser un tableau de signes après factorisation.

Après avoir trouvé les zéros de \(h\), que faut-il faire pour résoudre \(h(x)<0\) ?

Rien d'autre, les zéros sont suffisants
Étudier le signe de \(h\) sur chaque intervalle entre ces zéros
Prendre la dérivée de \(h\)

Les zéros divisent la droite en intervalles ; il faut tester le signe sur chacun d'eux.

Récapitulatif

Transformer \(f(x)=g(x)\) en \(h(x)=0\) avec \(h=f-g\).
Pour \(f(x)
Vérifier algébriquement et graphiquement.

Quelle étape est commune à la résolution de \(f(x)=g(x)\) et de \(f(x)

Poser \(h(x)=f(x)-g(x)\)
Tracer les courbes sans calcul
Calculer les dérivées

Les deux problèmes commencent par définir \(h(x)=f(x)-g(x)\).

Cartes mémo

h(x)

Définie par \(h(x)=f(x)-g(x)\), permet de comparer f et g.

Équation

\(f(x)=g(x) \Leftrightarrow h(x)=0\).

Inéquation

\(f(x)

Tableau de signes

Après factorisation, placer les zéros et tester les signes sur les intervalles.