Parité et comparaison de fonctions : Utilisation de tableaux de signes

1. Parité d'une fonction

Une fonction \(f\) est dite paire si, pour tout réel \(x\), on a :

• \(

Elle est impaire si, pour tout \(x\), :

• \(

Réaliser le tableau de signes permet de vérifier ces propriétés.

2. Utilisation des tableaux de signes

Les tableaux de signes permettent d'étudier le signe d'une fonction sur un intervalle. La démarche consiste à :

1. Déterminer les points où la fonction s'annule (racines).
2. Étudier le signe de la fonction dans chaque intervalle délimité par ces racines.
3. Représenter ces résultats sous forme de tableau.

Exemple :

Considérons la fonction :

\(f(x) = x^2 - 4\)

Les racines :

• \(f(x) = 0 \Rightarrow x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x = \pm 2\)

Étudions le signe de \(f(x)\) :

Intervalle	Signe de \(f(x)\)
\(x < -2\)	\(f(x) > 0\)
\(-2 < x < 2\)	\(f(x) < 0\)
\(x > 2\)	\(f(x) > 0\)

3. Résumé

• Le tableau de signes est un outil essentiel pour l'étude du signe et des variations d'une fonction.
• Il permet également de vérifier la parité ou l'imparité en observant la symétrie du graphique.