Parité et comparaison de fonctions — Utilisation de tableaux de signes (niveau 2nde)
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Utiliser des tableaux de signes aide à comparer deux fonctions en étudiant le signe de leur différence et à reconnaître si une fonction est paire, impaire ou ni l'une ni l'autre.
Parité et comparaison de fonctions — tableaux de signes
Niveau : 2nde — Durée : synthétique
Objectifs
Reconnaître si une fonction est paire, impaire ou ni l'une ni l'autre.
Comparer deux fonctions en résolvant une inéquation \(f(x) \le g(x)\) à l'aide d'un tableau de signes.
Construire et lire un tableau de signes simple (polynôme, fraction rationnelle, produit).
Qu'est-ce qu'on étudie pour comparer deux fonctions \(f\) et \(g\) ?
Le produit \(f(x)g(x)\)
La différence \(f(x)-g(x)\)
La somme \(f(x)+g(x)\)
On étudie la différence \(f(x)-g(x)\) et son signe : si elle est \(\le 0\) alors \(f(x)\le g(x)\).
Notions clés
Parité d'une fonction
Définitions :
Une fonction \(f\) est paire si \(\forall x\in\mathcal{D},\; f(-x)=f(x)\). Son graphe est symétrique par rapport à l'axe \(y\).-\)
Une fonction \(f\) est impaire si \(\forall x\in\mathcal{D},\; f(-x)=-f(x)\). Son graphe est symétrique par rapport à l'origine.
Laquelle de ces fonctions est impaire ?
\(x^3\)
\(x^2\)
\(x^2+1\)
\(x^3\) est impaire car \((-x)^3=-x^3\).
Comparer des fonctions avec un tableau de signes
Méthode générale : pour résoudre \(f(x)\le g(x)\), on étudie le signe de \(h(x)=f(x)-g(x)\) et on construit un tableau de signes de \(h\) sur son domaine.
flowchart LR
A[Écrire h(x)=f(x)-g(x)] --> B[Factoriser h si possible]
B --> C[Trouver zéros et points d'interdiction]
C --> D[Placer ces valeurs sur une droite et tester les signes]
D --> E[Lire les intervalles où h \u2264 0 ou h \u2265 0]
Pour résoudre \(f(x)\le g(x)\) on doit :
Étudier le signe de \(f(x)g(x)\)
Étudier le signe de \(f(x)+g(x)\)
Étudier le signe de \(h(x)=f(x)-g(x)\)
La comparaison se ramène à l'étude du signe de la différence \(h(x)\).
Exemples résolus
Exemple 1 — Tester la parité
Soit \(f(x)=x^3+x\). Tester si \(f\) est paire, impaire ou ni.
Voir la solution
Calculons \(f(-x)\) :
Étape 1 : \(f(-x)=(-x)^3+(-x)= -x^3 - x\).
Étape 2 : On reconnaît \(f(-x)=-(x^3+x) = -f(x)\).
Conclusion : \(f\) est impaire.
Quel est le résultat pour \(f(x)=x^3+x\) ?
paire
impaire
ni l'une ni l'autre
On a \(f(-x)=-f(x)\), donc la fonction est impaire.
Exemple 2 — Résoudre une inéquation par tableau de signes
Résoudre \(x^2-4\le 0\).
Voir la solution
Étapes :
Étape 1 : Factoriser \(x^2-4=(x-2)(x+2)\).
Étape 2 : Les zéros sont \(-2\) et \(2\). Placer ces points sur la droite.
