1. Rappel : parité des fonctions

Une fonction f est :

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• paire si f(-x) = f(x) pour tout x du domaine
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• impaire si f(-x) = -f(x) pour tout x
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• ni paire ni impaire sinon
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Comment les tester ? remplacer x par -x et comparer le résultat à f(x).

Exemples :

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• f(x) = x^2 est paire
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• f(x) = x^3 est impaire
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• f(x) = x est ni paire ni impaire
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2. Rappel : comparaison de fonctions

Pour comparer f et g sur un intervalle, on considère h(x) = f(x) - g(x).

On déduit :

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• f(x) ≥ g(x) lorsque h(x) ≥ 0
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• f(x) ≤ g(x) lorsque h(x) ≤ 0
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• f et g se croisent où h(x) = 0
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3. Tableau de signes : principe

Le tableau de signes permet de visualiser le signe de h sur chaque intervalle déduit des zéros de h.

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1. Calculer h(x) = f(x) - g(x) et résoudre h(x) = 0 pour obtenir les racines x1, x2, ..., xn.
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2. Classer les racines dans l'ordre croissant et former les intervalles entre elles, ainsi que les extrémités, si nécessaire.
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3. Choisir un point test dans chaque intervalle et évaluer h à ce point pour déterminer le signe dans l'intervalle.
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4. Conclure : indiquer les intervalles où f ≥ g, f ≤ g, et les points où f = g (les racines).
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4. Exemple guidé

Exemple 1 : comparer f et g sur ℝ avec h(x) = f(x) - g(x).

Cas : f(x) = x^2 + 1 et g(x) = 2x. Alors h(x) = x^2 + 1 - 2x = (x - 1)^2.

Racine(s) : x = 1 (double racine).

Signes sur les intervalles :

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• (-∞, 1): h(x) > 0
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• (1, ∞): h(x) > 0
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• À x = 1, h(1) = 0
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Conclusion : f ≥ g sur tout ℝ et f = g uniquement en x = 1.

5. Conseils pratiques

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• Vérifier les domaines de définition et les extrémités des intervalles éventuels.
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• Si h est factorisable, factoriser peut simplifier le tableau de signes.
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• Préparer un petit tableau au format colonne pour résumer les signes sur chaque intervalle.
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6. Exercices rapides (à faire)

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1. Comparer f et g avec f(x) = x^2 et g(x) = x sur [0, +∞). Construire h(x) et son tableau de signes.
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2. Pour f(x) = |x| et g(x) = x^2, déterminer où f ≥ g sur ℝ.
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