Fonctions trigonométriques : parité, périodicité, représentation graphique

Les fonctions sinus et cosinus se répètent comme un motif de pagne : grâce à la périodicité et à la parité, il suffit d’étudier un petit morceau de la courbe pour la dessiner en entier.

Objectifs

Rappeler la définition de \(\cos x\) et \(\sin x\) sur le cercle trigonométrique.
Démontrer qu’une fonction est paire, impaire ou ni l’un ni l’autre.
Reconnaître et calculer la période d’une fonction trigonométrique.
Réduire l’intervalle d’étude et construire les courbes de sinus et cosinus.

1. Rappel : sinus et cosinus d’un réel

Sur le cercle trigonométrique (centre \(O\), rayon 1), à tout réel \(x\) on associe un point \(M\) du cercle. Son abscisse est \(\cos x\), son ordonnée est \(\sin x\). On a toujours :

\[-1 \leq \cos x \leq 1, \qquad -1 \leq \sin x \leq 1, \qquad \cos^2 x + \sin^2 x = 1.\]

Les fonctions cosinus \(x \mapsto \cos x\) et sinus \(x \mapsto \sin x\) sont définies sur \(\mathbb{R}\).

\(x\)	\(0\)	\(\dfrac{\pi}{6}\)	\(\dfrac{\pi}{4}\)	\(\dfrac{\pi}{3}\)	\(\dfrac{\pi}{2}\)	\(\pi\)
\(\cos x\)	\(1\)	\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\dfrac{1}{2}\)	\(0\)	\(-1\)
\(\sin x\)	\(0\)	\(\dfrac{1}{2}\)	\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)	\(1\)	\(0\)

2. Périodicité

Faire un tour complet de plus sur le cercle ramène au même point, donc pour tout réel \(x\) :

\[\cos(x + 2\pi) = \cos x \qquad \text{et} \qquad \sin(x + 2\pi) = \sin x.\]

Les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période \(2\pi\).

Exemple résolu 1 : période de \(f(x) = \sin(3x)\)

Cherche d’abord, puis dévoile les étapes.

On cherche \(T\) tel que \(3(x + T) = 3x + 2\pi\), c’est-à-dire \(3T = 2\pi\).

Donc \(T = \dfrac{2\pi}{3}\).

Vérification : \(f\left(x + \dfrac{2\pi}{3}\right) = \sin(3x + 2\pi) = \sin(3x) = f(x)\). La fonction est périodique de période \(\dfrac{2\pi}{3}\).

Joue avec les curseurs : \(A\) étire la courbe en hauteur, \(k\) la comprime en largeur. Compte combien de « vagues » tiennent entre \(0\) et \(2\pi \approx 6{,}28\).

Quelle est la période de \(g(x) = \cos\left(\dfrac{x}{2}\right)\) ?

\(\pi\)
\(4\pi\)
\(2\pi\)

Ici \(a = \dfrac{1}{2}\), donc \(T = \dfrac{2\pi}{1/2} = 4\pi\). Diviser \(x\) par 2 étire la courbe : la période double.

3. Parité

Sur le cercle, les points associés à \(x\) et à \(-x\) sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses : même abscisse, ordonnées opposées. Donc :

\[\cos(-x) = \cos x \qquad \text{et} \qquad \sin(-x) = -\sin x.\]

La fonction cosinus est paire, la fonction sinus est impaire.

Exemple résolu 2 : parité de \(f(x) = x \sin x\)

\(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\), qui est symétrique par rapport à 0.

\(f(-x) = (-x)\sin(-x) = (-x)(-\sin x) = x \sin x\).

Donc \(f(-x) = f(x)\) : \(f\) est paire, sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Exemple résolu 3 : parité de \(g(x) = \cos x + \sin x\)

Voir la solution

\(g(-x) = \cos x - \sin x\). Ce n’est ni \(g(x)\) ni \(-g(x)\) en général. Pour le prouver, un contre-exemple suffit :

\(g\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 0 + 1 = 1\) et \(g\left(-\dfrac{\pi}{2}\right) = 0 - 1 = -1\) : \(g(-x) \neq g(x)\), donc \(g\) n’est pas paire.
\(g(0) = 1 \neq 0\) : une fonction impaire définie en 0 vérifie \(g(0) = -g(0)\), soit \(g(0) = 0\). Donc \(g\) n’est pas impaire.

\(g\) n’est ni paire ni impaire.

La fonction \(h(x) = \sin x \cos x\) est :

impaire
paire
ni paire ni impaire

\(h(-x) = \sin(-x)\cos(-x) = (-\sin x)(\cos x) = -h(x)\) : \(h\) est impaire.

La fonction \(k(x) = \cos(2x) + 1\) est :

impaire, de période \(2\pi\)
paire, de période \(2\pi\) seulement
paire, de période \(\pi\)

\(k(-x) = \cos(-2x) + 1 = \cos(2x) + 1 = k(x)\) : \(k\) est paire. Et \(k(x + \pi) = \cos(2x + 2\pi) + 1 = k(x)\) : \(\pi\) est une période.

4. Représentation graphique

Variations sur l’intervalle réduit \([0 \,;\, \pi]\)

Grâce à la période \(2\pi\), on étudie sur un intervalle de longueur \(2\pi\), par exemple \([-\pi \,;\, \pi]\). Grâce à la parité, on se limite à \([0 \,;\, \pi]\).

\(x\)	\(0\)		\(\dfrac{\pi}{2}\)		\(\pi\)
\(\cos x\)	\(1\)	décroissante	\(0\)	décroissante	\(-1\)
\(\sin x\)	\(0\)	croissante	\(1\)	décroissante	\(0\)

Construction de la sinusoïde, étape par étape

On trace l’arche de sinus sur \([0 \,;\, \pi]\) grâce au tableau de variations : de 0 à 1 puis retour à 0.

Sinus est impaire : la symétrie de centre \(O\) donne la courbe sur \([-\pi \,;\, 0]\).

Sinus est \(2\pi\)-périodique : on recopie le motif obtenu sur \([-\pi \,;\, \pi]\) par translations de \(2\pi\) à gauche et à droite.

Les deux courbes ensemble : la courbe de cosinus (paire, symétrique par rapport à l’axe des ordonnées) est celle de sinus décalée de \(\dfrac{\pi}{2}\) vers la gauche, car \(\cos x = \sin\left(x + \dfrac{\pi}{2}\right)\).

Exemple résolu 4 : réduire l’intervalle d’étude de \(f(x) = \cos(2x)\)

Voir la solution

Période : \(T = \dfrac{2\pi}{2} = \pi\). On peut étudier \(f\) sur \(\left[-\dfrac{\pi}{2} \,;\, \dfrac{\pi}{2}\right]\), de longueur \(\pi\).

Parité : \(f(-x) = \cos(-2x) = \cos(2x) = f(x)\), donc \(f\) est paire. On réduit à \(\left[0 \,;\, \dfrac{\pi}{2}\right]\).

Sur cet intervalle, \(2x\) va de \(0\) à \(\pi\), où cosinus décroît : \(f\) décroît de \(f(0) = 1\) à \(f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = \cos \pi = -1\). On complète par symétrie par rapport à l’axe des ordonnées, puis par translations de \(\pi\).

La courbe de sinus est symétrique par rapport :

à l’axe des ordonnées
à l’origine du repère
à l’axe des abscisses

Sinus est impaire (\(\sin(-x) = -\sin x\)), donc sa courbe est symétrique par rapport à l’origine \(O\).

Récapitulatif

\(\cos\) et \(\sin\) sont définies sur \(\mathbb{R}\), à valeurs dans \([-1 \,;\, 1]\), et périodiques de période \(2\pi\).
\(x \mapsto \cos(ax + b)\) et \(x \mapsto \sin(ax + b)\) ont pour période \(\dfrac{2\pi}{|a|}\).
Cosinus est paire (symétrie par rapport à l’axe des ordonnées), sinus est impaire (symétrie par rapport à l’origine).
Pour tracer : étudier sur un intervalle réduit, puis compléter par symétrie et par translations.

Fonction périodique de période \(T\)

\(f(x + T) = f(x)\) pour tout \(x\)

Période de \(\sin(ax + b)\)

\(\dfrac{2\pi}{|a|}\)

Fonction paire

\(f(-x) = f(x)\), symétrie par rapport à l’axe des ordonnées

Fonction impaire

\(f(-x) = -f(x)\), symétrie par rapport à l’origine

Cosinus

Paire, période \(2\pi\), \(\cos 0 = 1\)

Sinus

Impaire, période \(2\pi\), \(\sin 0 = 0\)