Phénomènes ondulatoires : l'angle de diffraction

Quand une onde passe par une ouverture de taille \(a\) proche de sa longueur d'onde \(\lambda\), elle s'étale : l'écart angulaire de la tache centrale vaut \(\theta = \dfrac{\lambda}{a}\), donc plus l'ouverture est petite, plus l'onde s'étale.

Objectifs

Décrire le phénomène de diffraction et savoir quand il est marqué.
Connaître et utiliser la relation \(\theta = \dfrac{\lambda}{a}\) (\(\theta\) en radians).
Relier \(\theta\) à la largeur \(L\) de la tache centrale et à la distance \(D\) fente-écran.
Exploiter une mesure pour déterminer une longueur d'onde ou la taille d'un obstacle.

1. Le phénomène de diffraction

Toutes les ondes diffractent : ondes à la surface de l'eau, ondes sonores, lumière. Pour un son de fréquence \(340\ \text{Hz}\) dans l'air (\(v\approx 340\ \text{m/s}\)), \(\lambda = \frac{v}{f} \approx 1\ \text{m}\) : une porte de \(1\ \text{m}\) diffracte fortement le son. Pour la lumière visible, \(\lambda\) est comprise entre environ \(400\ \text{nm}\) et \(800\ \text{nm}\) : il faut une fente très fine (quelques dizaines de micromètres) pour voir la diffraction.

Avec un laser et une fente fine, on observe sur l'écran une tache centrale très lumineuse, deux fois plus large que les taches latérales, entourée de taches moins lumineuses séparées par des zones sombres (extinctions). La figure s'étale perpendiculairement à la fente : une fente verticale donne une figure horizontale.

Repère les éléments du montage (touche chaque nom puis place-le).

Lors de la diffraction de la lumière d'un laser par une fente, qu'est-ce qui ne change pas ?

La direction de propagation
La longueur d'onde
La largeur du faisceau

La diffraction modifie la direction (le faisceau s'élargit) mais la fréquence, donc la longueur d'onde dans le même milieu, reste la même : la couleur ne change pas.

2. L'angle de diffraction \(\theta\)

\(\theta\) est proportionnel à \(\lambda\) : le rouge diffracte plus que le bleu.
\(\theta\) est inversement proportionnel à \(a\) : diviser la largeur de la fente par 2 double l'angle.

Manipule : la courbe donne \(\theta\) (en milliradians) en fonction de la largeur \(a\) de la fente (en micromètres), pour une longueur d'onde \(\lambda\) réglable (en micromètres, de 0,4 pour le violet à 0,8 pour le rouge).

Lien avec la largeur de la tache centrale

L'écran est placé à la distance \(D\) de la fente ; l'axe en pointillés passe par le centre de la tache.

Le rayon qui va vers la première extinction fait l'angle \(\theta\) avec l'axe.

Il arrive à la distance \(\frac{L}{2}\) du centre : \(\tan\theta = \frac{L/2}{D} = \frac{L}{2D}\).

Pour un petit angle exprimé en radians, \(\tan\theta \approx \theta\). On obtient :

\[ \theta = \frac{L}{2D} = \frac{\lambda}{a} \qquad\Longrightarrow\qquad L = \frac{2\lambda D}{a}. \]

On remplace une fente de largeur \(a\) par une fente de largeur \(\frac{a}{2}\), avec le même laser. La largeur de la tache centrale :

double
est divisée par deux
ne change pas

\(L = \frac{2\lambda D}{a}\) : \(L\) est inversement proportionnelle à \(a\). Si \(a\) est divisée par 2, \(L\) double.

Avec la même fente, quel laser donne la tache centrale la plus large ?

Violet (405 nm)
Vert (532 nm)
Rouge (650 nm)

\(\theta = \frac{\lambda}{a}\) augmente avec \(\lambda\) : le rouge, de plus grande longueur d'onde, diffracte le plus.

3. Exemples résolus

Exemple 1 : prévoir la largeur de la tache

Au laboratoire d'un lycée de Lomé, un laser rouge de longueur d'onde \(\lambda = 650\ \text{nm}\) éclaire une fente de largeur \(a = 0{,}10\ \text{mm}\). L'écran est à \(D = 2{,}0\ \text{m}\). Calculer \(\theta\) puis \(L\).

Conversions : \(\lambda = 650\times10^{-9}\ \text{m} = 6{,}5\times10^{-7}\ \text{m}\) ; \(a = 0{,}10\times10^{-3}\ \text{m} = 1{,}0\times10^{-4}\ \text{m}\).

\(\theta = \dfrac{\lambda}{a} = \dfrac{6{,}5\times10^{-7}}{1{,}0\times10^{-4}} = 6{,}5\times10^{-3}\ \text{rad}\).

\(L = 2D\theta = 2\times 2{,}0\times 6{,}5\times10^{-3} = 2{,}6\times10^{-2}\ \text{m}\), soit \(L = 2{,}6\ \text{cm}\).

Exemple 2 : retrouver une longueur d'onde

Awa éclaire une fente de largeur \(a = 60\ \mu\text{m}\) avec un laser inconnu. Elle mesure \(L = 4{,}0\ \text{cm}\) sur un écran situé à \(D = 2{,}00\ \text{m}\). Quelle est la longueur d'onde ? Cherche d'abord.

Voir la solution

\begin{align} \theta &= \frac{L}{2D} = \frac{4{,}0\times10^{-2}}{2\times 2{,}00} = 1{,}0\times10^{-2}\ \text{rad}\\ \lambda &= a\,\theta = 60\times10^{-6}\times 1{,}0\times10^{-2} = 6{,}0\times10^{-7}\ \text{m} = 600\ \text{nm} \end{align}

C'est une lumière orangée.

Exemple 3 : mesurer l'épaisseur d'un cheveu

Un fil ou un cheveu diffracte comme une fente de même largeur. Avec \(\lambda = 650\ \text{nm}\) et \(D = 2{,}00\ \text{m}\), Kofi mesure \(L = 2{,}6\ \text{cm}\) derrière un de ses cheveux. Quel est son diamètre \(a\) ?

Voir la solution

\[ \theta = \frac{L}{2D} = \frac{2{,}6\times10^{-2}}{4{,}00} = 6{,}5\times10^{-3}\ \text{rad}, \qquad a = \frac{\lambda}{\theta} = \frac{6{,}5\times10^{-7}}{6{,}5\times10^{-3}} = 1{,}0\times10^{-4}\ \text{m}. \]

Le cheveu a un diamètre d'environ \(100\ \mu\text{m}\), soit \(0{,}1\ \text{mm}\).

\(\lambda = 500\ \text{nm}\), \(a = 0{,}25\ \text{mm}\). Que vaut \(\theta\) ?

\(2{,}0\times10^{-4}\ \text{rad}\)
\(2{,}0\times10^{-3}\ \text{rad}\)
\(2{,}0\ \text{rad}\)

\(\theta = \frac{5{,}0\times10^{-7}}{2{,}5\times10^{-4}} = 2{,}0\times10^{-3}\ \text{rad}\).

Démarche d'exploitation d'une mesure

flowchart LR
A[Mesurer L et D] --> B[Calculer theta egal L sur 2D]
B --> C[Utiliser theta egal lambda sur a]
C --> D[Trouver lambda ou a]

Récapitulatif

La diffraction étale une onde qui traverse une ouverture ; elle est marquée si \(a\) est de l'ordre de \(\lambda\) ou plus petite.
\(\theta = \frac{\lambda}{a}\), en radians, \(\lambda\) et \(a\) en mètres.
\(\tan\theta \approx \theta = \frac{L}{2D}\), d'où \(L = \frac{2\lambda D}{a}\).
Plus la fente est étroite ou la longueur d'onde grande, plus la tache centrale est large.

Diffraction

Étalement d'une onde par une ouverture ou un obstacle, sans changement de longueur d'onde.

Condition d'une diffraction marquée

Dimension \(a\) de l'ouverture du même ordre que \(\lambda\), ou plus petite.

Angle de diffraction

\(\theta = \frac{\lambda}{a}\), en radians.

Largeur de la tache centrale

\(L = \frac{2\lambda D}{a}\), car \(\theta \approx \frac{L}{2D}\).

Effet de la couleur

Le rouge (grande \(\lambda\)) diffracte plus que le bleu ou le violet.