Mouvement – Vitesse moyenne et vitesse instantanée

Apprendre à calculer et interpréter la vitesse moyenne et la vitesse instantanée à partir de données de déplacement et de temps.

Objectifs

Comprendre la distinction entre vitesse moyenne et vitesse instantanée.
Savoir calculer \( v_{moy} \) et \( v(t) \) à partir de données de déplacement et de temps.
Interpréter les unités et les résultats dans le cadre d’un mouvement rectiligne uniformément ou non.
Résoudre des exercices simples et analyser les résultats.

Notions clés

Vitesse moyenne sur un intervalle est définie comme le quotient de la variation de la position par la variation du temps: \( v_{moy} = \frac{\Delta x}{\Delta t} \).

Vitesse instantanée à un instant t est la dérivée de la position par rapport au temps: \( v(t) = \frac{dx}{dt} \).

Dans un mouvement unidimensionnel, dx est la variation de position le long d’un axe et dt le temps écoulé pendant cette variation.

Unité typique de vitesse: \( \\mathrm{m \, s^{-1}} \) (mètres par seconde).

Exemple de calcul rapide:
Si une voiture parcourt \(\Delta x = 120\,\mathrm{m}\) en \(\Delta t = 12\,\mathrm{s}\), alors \[ v_{moy} = \frac{120}{12} = 10 \\mathrm{m \, s^{-1}}. \]

Exemples résolus

Exemple 1 – Vitesse moyenne

Une personne marche 300 m en 60 s.

Étape 1 : identifier les grandeurs

Étape 2 : appliquer la formule

Étape 3 : calcul

Voir la solution

Solution détaillée :

vmoy = Δx/Δt

Δx = 300 m, Δt = 60 s

v = 300/60 = 5

v = 5 \(\mathrm{m \, s^{-1}}\)

Exemple 2 – Vitesse instantanée (fonction x(t))

Considérez une fonction position donnée par \( x(t) = 3t^2 \) (en mètres, avec t en secondes).

Étape 1 : écrire la position

Étape 2 : dériver par rapport au temps

Étape 3 : obtenir v(t)

Voir la solution

Solution étape par étape :

x(t) = 3t^2

v(t) = dx/dt = 6t

Par exemple à t = 2 s, v(2) = 12 \(\mathrm{m \, s^{-1}}\)

Schéma: mouvement le long d’un axe avec position x et temps t

Quel énoncé est vrai ?

La vitesse moyenne dépend du trajet et du temps total.
La vitesse instantanée peut être mesurée sans dériver la position.
La vitesse moyenne est égale à la vitesse instantanée en tout point.

C’est la première proposition qui est correcte: v_moy dépend de Δx et Δt sur l’intervalle considéré.

Erreurs fréquentes

Récapitulatif

V_moy = Δx/Δt.
v(t) = dx/dt.
Unité typique: m s^{-1}.
Utiliser les délimitations \( \( \) \) pour les formules en ligne et \[ \] pour les équations sur une ligne séparée lorsque nécessaire.

Cartes Mémo – Notions clés

V_moy

Vitesse moyenne sur un intervalle: Δx/Δt

v(t)

Vitesse instantanée: dx/dt

Δx

Variation de position pendant l’intervalle

Δt

Durée de l’intervalle

Unités

m s^{-1}, m, s, etc.

Graphique interactif – vitesse en fonction du temps

Frise rapide (chronologie)

0 Début du mouvement
5 Milieu: données intermédiaires
10 Fin: retour sur Δt