Équilibre d'un solide mobil autour d'un axe - Conditions d'équilibre

Objectifs

Savoir formuler la condition d'équilibre: somme des forces et somme des moments nulles.
Calculer les couples autour d'un axe et identifier les effets des forces sur ces couples.
Résoudre des problèmes simples de stabilité d'un solide autour d'un axe.

Notions clés

Pour tout équilibre d'un solide autour d'un axe, deux conditions essentielles s'imposent :

1) Somme vectorielle des forces nulle : \(\sum \vec{F} = 0\).

2) Somme des moments autour de l'axe de rotation nul : \(\sum \tau = 0\) (ou, si l'on utilise le rayon r et la force F, \(|\tau| = r F \sin \theta\)).

Le moment (ou couple) est défini par : \[ \tau = \vec{r} \times \vec{F} \] et sa valeur effective est \(|\tau| = r F \sin \theta\).

Sur un solide, l'axe de rotation passe par un point donné; les distances et les angles déterminent le sens et la grandeur du couple.

Exemple résolu

Objectif : vérifier l'équilibre et trouver si le système est équilibré selon les règles.

Étape 1 : repérer l'axe et mesurer les distances r des forces par rapport à l'axe.

Étape 2 : écrire les expressions des couples \( \tau = \vec{r} \times \vec{F} \) et leur grandeur \(|\tau| = r F \sin \theta\).

Étape 3 : écrire la condition d'équilibre \(\sum \tau = 0\) et vérifier les signes des couples.

Voir la solution

Supposons que la tige soit pivotée autour de son centre. La force F est appliquée à l'extrémité à distance L/2 du pivot. Le couple produit par F autour du pivot est :

\[ \tau = \frac{L}{2} \cdot F \cdot \sin(90^\circ) = \frac{L}{2} F. \]

Pour obtenir l'équilibre total, il faut qu'un autre couple oppose exactement ce moment. Si une autre force F' est appliquée à l'autre extrémité à la même distance et dans le sens opposé, alors :

\[ \tau' = \frac{L}{2} \cdot F' \cdot \sin(90^\circ) = \frac{L}{2} F'. \]

Équilibre si \(\tau + \tau' = 0\), ce qui nécessite F' = -F. Donc les deux forces opposées et équidistantes suffisent à équilibrer la tige.

Étape 1 : calcul du couple produit par chaque force

Étape 2 : égaler les couples pour l'équilibre: \(\tau + \tau' = 0\)

Étape 3 : déduire que F' = -F pour équilibre pur sur une tige symétrique

Évaluations avec mini-quiz ci-dessous :

Parmi les affirmations suivantes, quelle est vraie pour l'équilibre d'un solide autour d'un axe ?

La somme des forces est nulle et la somme des moments autour de l'axe est nulle.
La somme des forces est égale à la somme des moments.
Seule la somme des forces compte.

C'est la première affirmation: l'équilibre impose les deux conditions.

Erreurs fréquentes

Oublier que les moments dépendent de la distance r et de l'angle entre r et F.
Confondre axe et point de pivot; le moment se calcule par rapport à l'axe choisi.
Ne pas vérifier les directions des forces et des couples (sens trigo).

Récapitulatif

Équilibre: \(\sum \vec{F} = 0\) et \(\sum \tau = 0\).
Le moment d'une force est \(\tau = \vec{r} \times \vec{F}\).
Pour une force perpendiculaire à la tige, \(|\tau| = r F\).

Schéma : levier et pivot

Notion

Définition courte

Moment

Effet tournant d'une force: τ = r × F

Équilibre

Somme des forces et des moments nulles

Mini-récapitulatif des notions clés

Équilibre: \(\sum \vec{F} = 0\) et \(\sum \tau = 0\).
Moment: \(\tau = \vec{r} \times \vec{F}\).
Pour une force perpendiculaire, \(|\tau| = r F\).