Objectifs

• Comprendre ce qu est le vecteur vitesse d un point en mouvement et ce qu implique sa variation
• Différencier vitesse instantanée et vitesse moyenne
• Relier variation du vecteur vitesse à l accélération dv/dt = a

Rappels et definitions

• Position r(t) : vecteur position du point en fonction du temps
• Vecteur vitesse v(t) = dr/dt : dérivée de la position par rapport au temps
• Vitesse scalaire |v(t)| = norme de v(t)
• Trajectoire : courbe décrite par les points de r(t) dans le référentiel

Variation du vecteur vitesse

La variation du vecteur vitesse sur un intervalle [t_i, t_f] s exprime par Delta v = v(t_f) - v(t_i)

La variation temporelle de v est l acceleration:

• Vitesse instantanée: v(t) = dr/dt
• Acceleration: a(t) = dv/dt = d²r/dt²

Proprietes et interpretations

• Si v est constant, pas d acceleration (a = 0) et la trajectoire est une ligne droite a vitesse constante
• Si |v| est constant mais que la direction change (par ex mouvement circulaire uniforme), l acceleration est centripete et perpendiculaire a v
• La direction de v est tangente a la trajectoire en chaque point

Exemples rapides

1. Mouvement rectiligne uniforme: r(t) = r0 + v0 t. v(t) = v0, a(t) = 0
2. Mouvement rectiligne avec acceleration: r(t) = r0 + v0 t + (1/2) a t². v(t) = v0 + a t, a(t) = a constant
3. Mouvement circulaire uniforme: vitesse v = constant en norme, direction changeante. v(t) = v e_theta(t); a(t) = v^2 / r en direction -r_hat (centripete)

Formules essentielles

• v(t) = dr/dt
• |v(t)| = vitesse scalaire
• a(t) = dv/dt = d²r/dt²
• Δv = v(t_f) - v(t_i)
• a_moyenne = Δv / Δt

Applications et exercices guidés

Exercice 1: Une particule se déplace selon x(t) = t², t en secondes et x en mètres. Trouver v(t) et a(t)

• Solution: v(t) = dx/dt = 2t; a(t) = dv/dt = 2

Exercice 2: Sur l intervalle t = 0 à t = 3 s, la vitesse v passe de 2 m/s à 8 m/s. Calculer Δv et a_moyenne

• Δv = 6 m/s; Δt = 3 s; a_moyenne = 2 m/s²

Conclusion

La variation du vecteur vitesse est ce qui defin it l acceleration. Le vecteur vitesse est tangent a la trajectoire et evolue en magnitude et/ou direction selon le mouvement