Physique-Chimie : Mouvement dans un champ de gravitation (lois de Kepler)

Introduction

Lorsque la masse d'une planète tourne autour d'une étoile ou d'un corps central, elle subit une force gravitationnelle. Les lois de Kepler décrivent le mouvement de cette planète dans ce champ gravitationnel.

Les lois de Kepler

1. Première loi : Les orbites des planètes sont des ellipses avec le Soleil en foyer.
2. Deuxième loi : Une ligne reliant une planète au Soleil balaie des aires égales en des temps égaux.
3. Troisième loi : Le carré de la période de révolution \(T\) est proportionnel au cube du demi-grand axe \(a\) de l'ellipse, c'est-à-dire : \[\ T^2 \propto a^3 \]

La loi de la gravitation

La force gravitationnelle entre deux corps de masse \(m\) et \(M\), séparés d'une distance \(r\), est donnée par :

\[ F = G rac{m M}{r^2} \]

où \(G\) est la constante gravitationnelle, approximativement \(6,674 imes 10^{-11} ext{ m}^3\, ext{kg}^{-1}\, ext{s}^{-2}\).

Les mouvements circulaires et elliptiques

Pour un corps en mouvement sur une trajectoire orbitale, la force centrale fournit la nécessité d'une accélération radiale :

\[\ a = rac{v^2}{r} \]

Le corps en mouvement subi une force gravitationnelle :

\[\ F = m a = m rac{v^2}{r} \]

En égalant à la force gravitationnelle :

\[\ G rac{m M}{r^2} = m rac{v^2}{r} \]

Ce qui permet de déterminer la vitesse orbitale :

\[\ v = \sqrt{G rac{M}{r}} \]

Application à la loi de Kepler

En utilisant la relation entre la période \(T\) et la vitesse orbitale \(v\), on peut déduire la troisième loi de Kepler :

\[\ T^2 = rac{4 \pi^2}{G M} a^3 \]

où \(a\) est le grand axe de l'ellipse.

Conclusion

Les lois de Kepler et la loi de la gravitation permettent de décrire précisément le mouvement des planètes autour du Soleil, illustrant le lien entre la trajectoire, la force gravitationnelle et la période de révolution.