Mouvement dans un champ de gravitation : lois de Kepler

Introduction

Le mouvement des planètes autour du Soleil peut être décrit par les lois de Kepler, qui expliquent comment une planète évolue sous l'effet d'une force gravitationnelle centrale.

Les lois de Kepler

1. Première loi (Loi des orbitres)

Chaque planète décrit une trajectoire elliptique avec le Soleil en foyer.

2. Deuxième loi (Loi des aires)

Le segment reliant une planète au Soleil balaie des aires égales en des temps égaux. Cela implique que la vitesse de la planète varie : plus elle est proche du Soleil, plus elle va vite.

3. Troisième loi (Loi des périodes)

Le carré de la période \( T \) d'une planète est proportionnel au cube du grand axe \( a \) de son orbite elliptique :

\[ T^2 \propto a^3 \]

Expression de la force gravitationnelle

La force exercée par le Soleil sur une planète est donnée par la loi de la gravitation universelle :

\[ ec{F} = - rac{GMm}{r^2} \hat{u}_r \]

où :

• \( G \) est la constante gravitationnelle,
• \( M \) la masse du Soleil,
• \( m \) la masse de la planète,
li>\( r \) la distance entre les centres,
• \( \hat{u}_r \) le vecteur unité radial pointant du Soleil vers la planète.

Le mouvement : lois de Kepler et la loi de la gravitation

En appliquant la deuxième loi dans le contexte gravitationnel, on en déduit que la trajectoire est un conique (ellipse, parabole ou hyperbole), et pour les planètes, c'est une ellipse.

Conclusion

Les lois de Kepler permettent de relier le mouvement orbital à la force gravitationnelle, ce qui est une expression concrète de la dynamique dans un champ central de gravitation.