Introduction

L'oscillation mécanique libre désigne le mouvement périodique d'un système isolé, comme un ressort ou un pendule simple, soumis uniquement à des forces de rappel proportionnelles à leur déplacement. La compréhension de ce mouvement repose sur l'écriture de son équation du mouvement.

Modèle physique

Considérons un système masse-ressort simple : une masse m attachée à un ressort idéale, sans frottements ni forces extérieures. Lorsqu'on désplie la masse de sa position d'équilibre, elle oscille autour de cette position.

Équation du mouvement

Selon la deuxième loi de Newton :

Dans le cas d'une oscillation sur une ligne, la force de rappel exercée par le ressort est donnée par la loi de Hooke :

\[ ec{F} = -k ec{u} \]

où \(k\) est la constante de rappel du ressort, et \(ec{u}\) le vecteur du déplacement depuis la position d'équilibre.

En utilisant cette force dans la loi de Newton, on obtient :

\[ m rac{d^2 u(t)}{dt^2} + k u(t) = 0 \]

Ce qui est une équation différentielle linéaire homogène à coefficients constants.

Solution de l'équation

La solution générale de cette équation est :

\[ u(t) = A \cos(\omega t + \phi) \]

avec :

• \(A\) : amplitude de l'oscillation (maximal déplacement)
• \(\phi\) : phase initiale
• \( \omega \) : pulsation propre, donnée par :

\[ \omega = \sqrt{rac{k}{m}} \]

La période \(T\) de l'oscillation est :

\[ T = rac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{rac{m}{k}} \]

Conclusion

L'équation du mouvement d'une oscillation mécanique libre par un ressort est une équation harmonique simple dont la solution indique un mouvement périodique. La pulsation et la période dépendent des caractéristiques du système, à savoir la masse \(m\) et la constante de ressort \(k\).