Oscillation mécanique libre - Équation du mouvement

Physique-Chimie : Oscillation mécanique libre

Thème : Équation du mouvement

Introduction

L'oscillation mécanique libre correspond au mouvement d’un système suspendu ou attaché, qui oscille sans force externe ni frottement résistif. Exemple classique : un pendule simple ou un ressort avec masse.

Modèle de l’oscillateur harmonique simple (OHS)

Considérons un système muni d’une masse \( m \) attachée à un ressort idéal de constante \( k \).

Équation du mouvement

La force exercée par le ressort, conforme à la loi de Hooke, est : \[ oldsymbol{F} = -k x \] avec \( x(t) \) la déviation de la masse par rapport à la position d’équilibre.

La deuxième loi de Newton donne :

\[ m rac{d^2 x}{dt^2} = F \]

En remplaçant \( F \) :

\[ m rac{d^2 x}{dt^2} + k x = 0 \]

C'est une équation différentielle linéaire homogène, du second ordre, à coefficients constants.

Solution de l’équation

La solution générale s’écrit :

\[ x(t) = A \cos (\omega t) + B \sin (\omega t) \] avec \( \omega \) la pulsation propre de l’oscillateur, définie par :

\[ oxed{\omega = \sqrt{rac{k}{m}}} \]

où \( A \) et \( B \) dépendent des conditions initiales (position et vitesse initiales).

Conclusion

Cette équation modélise le mouvement oscillatoire harmonique avec une période \( T \) donnée par :

\[ T = rac{2 \pi}{\omega} = 2 \pi \sqrt{rac{m}{k}} \]

Cela montre que la période dépend uniquement de la masse et de la constante du ressort.