Points d'inflexion et convexité

Une courbe convexe est tournée vers le haut comme un bol, une courbe concave est tournée vers le bas comme un chapeau, et un point d'inflexion est l'endroit précis où elle change de courbure.

Objectifs

Reconnaître graphiquement une fonction convexe ou concave sur un intervalle.
Relier la convexité au sens de variation de \(f'\) et au signe de \(f''\).
Déterminer un point d'inflexion et l'équation de la tangente en ce point.

1. Convexité : bol ou chapeau ?

Soit \(f\) une fonction dérivable sur un intervalle \(I\) et \(\mathcal{C}_f\) sa courbe.

\(f\) est convexe sur \(I\) si \(\mathcal{C}_f\) est située au-dessus de toutes ses tangentes sur \(I\).
\(f\) est concave sur \(I\) si \(\mathcal{C}_f\) est située au-dessous de toutes ses tangentes sur \(I\).

Exemples de référence : \(x \mapsto x^2\) est convexe sur \(\mathbb{R}\) ; \(x \mapsto -x^2\) est concave sur \(\mathbb{R}\) ; \(x \mapsto \sqrt{x}\) est concave sur \([0;+\infty[\).

Sur un intervalle, la courbe de \(f\) est au-dessous de toutes ses tangentes. Alors \(f\) est :

convexe
concave
croissante

Au-dessous des tangentes signifie concave (forme de chapeau). La convexité ne dit rien sur le sens de variation.

2. Convexité et dérivées

La pente de la tangente au point d'abscisse \(x\) est \(f'(x)\). On admet :

\(f\) est convexe sur \(I\) \(\iff\) \(f'\) est croissante sur \(I\) \(\iff\) \(f''(x) \geq 0\) pour tout \(x\) de \(I\).
\(f\) est concave sur \(I\) \(\iff\) \(f'\) est décroissante sur \(I\) \(\iff\) \(f''(x) \leq 0\) pour tout \(x\) de \(I\).

Ici \(f''\) désigne la dérivée seconde, c'est-à-dire la dérivée de \(f'\).

Manipule le curseur \(a\) : la droite rouge est la tangente à la courbe de \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 1\) au point d'abscisse \(a\). Observe quand la courbe est au-dessus ou au-dessous de sa tangente.

Ce qu'il fallait observer

Pour \(a < 1\), la tangente est au-dessus de la courbe (concave) ; pour \(a > 1\), elle est au-dessous (convexe). Pour \(a = 1\), la tangente traverse la courbe : c'est un point d'inflexion.

Si \(f''(x) = 6x - 6\), sur quel intervalle \(f\) est-elle convexe ?

\([1;+\infty[\)
\(]-\infty;1]\)
\(\mathbb{R}\)

\(6x - 6 \geq 0 \iff x \geq 1\) : \(f''\) est positive sur \([1;+\infty[\), donc \(f\) y est convexe.

3. Point d'inflexion

Un point d'inflexion est un point de \(\mathcal{C}_f\) où la courbe traverse sa tangente : la fonction change de convexité (convexe d'un côté, concave de l'autre).

Exemple résolu 1

Soit \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 1\) sur \(\mathbb{R}\). Étudier la convexité de \(f\), trouver le point d'inflexion et l'équation de la tangente en ce point. Cherche d'abord, puis dévoile les étapes.

Dérivées : \(f'(x) = 3x^2 - 6x\) puis \(f''(x) = 6x - 6\).

Signe de \(f''\) : \(6x - 6 \geq 0 \iff x \geq 1\). Donc \(f\) est concave sur \(]-\infty;1]\) et convexe sur \([1;+\infty[\).

\(f''\) s'annule en \(1\) en changeant de signe, et \(f(1) = 1 - 3 + 1 = -1\). Le point \(I(1;-1)\) est un point d'inflexion.

Tangente en \(I\) : \(f'(1) = 3 - 6 = -3\), donc \[ y = f'(1)(x - 1) + f(1) = -3(x - 1) - 1 = -3x + 2. \]

Exemple résolu 2

Soit \(g(x) = x^4 - 6x^2\). Combien la courbe de \(g\) a-t-elle de points d'inflexion ?

Voir la solution

\(g'(x) = 4x^3 - 12x\) et \(g''(x) = 12x^2 - 12 = 12(x - 1)(x + 1)\).

\(g''\) est positive sur \(]-\infty;-1]\) et sur \([1;+\infty[\), négative sur \([-1;1]\) : elle s'annule en \(-1\) et en \(1\) en changeant de signe.

\[ g(-1) = 1 - 6 = -5 \qquad g(1) = 1 - 6 = -5 \]

La courbe a deux points d'inflexion : \((-1;-5)\) et \((1;-5)\). \(g\) est convexe sur \(]-\infty;-1]\) et sur \([1;+\infty[\), concave sur \([-1;1]\).

flowchart LR
A[Calculer f prime] --> B[Calculer f seconde]
B --> C[Etudier le signe de f seconde]
C --> D[Convexe si positive et concave si negative]
C --> E[Annulation avec changement de signe]
E --> F[Point d inflexion]

Pour \(h(x) = x^3\), le point \(O(0;0)\) est-il un point d'inflexion ?

Non, car \(h'(0) = 0\)
Non, car \(h\) est croissante
Oui, car \(h''(x) = 6x\) s'annule en \(0\) en changeant de signe

\(h''\) est négative pour \(x < 0\) et positive pour \(x > 0\) : la courbe passe de concave à convexe en \(O\), elle y traverse sa tangente \(y = 0\).

Erreurs fréquentes

Récapitulatif

Convexe : courbe au-dessus de ses tangentes, \(f'\) croissante, \(f'' \geq 0\). Concave : courbe au-dessous de ses tangentes, \(f'\) décroissante, \(f'' \leq 0\). Un point d'inflexion correspond à un changement de convexité, repéré par l'annulation de \(f''\) avec changement de signe ; la courbe y traverse sa tangente.

Fonction convexe

Courbe au-dessus de ses tangentes ; \(f'\) croissante ; \(f'' \geq 0\).

Fonction concave

Courbe au-dessous de ses tangentes ; \(f'\) décroissante ; \(f'' \leq 0\).

Dérivée seconde

\(f''\) est la dérivée de \(f'\) ; son signe donne la convexité.

Point d'inflexion

Point où la courbe traverse sa tangente : \(f''\) s'annule en changeant de signe.

Tangente en \(x_0\)

\(y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)\)