Points d'inflexion et convexité

Introduction

Lorsqu'on étudie la forme d'une courbe représentative d'une fonction \( f \), on analyse ses variations, sa convexité et la présence éventuelle de points d'inflexion.

1. La dérivée seconde et la convexité

La convexité ou concavité d'une courbe se déduit de la dérivée seconde \( f''(x) \) :

• Si \( f''(x) > 0 \) pour tout \( x \) dans un intervalle, la courbe est **convexe** sur cet intervalle.
• Si \( f''(x) < 0 \), la courbe est **concave** sur cet intervalle.

2. Définition du point d'inflexion

Un point d'inflexion est un point où la courbe change de convexité. Autrement dit :

• Lorsque \( f''(x) \) change de signe en un point \( x_0 \), ce point peut être un point d'inflexion.

Il doit également vérifier que \( f \) est suffisamment dérivable et que \( f''(x_0) = 0 \) (ou indéfini), avec un changement de signe autour de \( x_0 \).

3. Comment repérer un point d'inflexion

• Calculer \( f''(x) \).
• Rechercher les valeurs de \( x \) où \( f''(x) = 0 \) ou n’est pas défini.
• Vérifier que \( f''(x) \) change de signe en ces points.

Exemple

Considérons la fonction \( f(x) = x^3 - 3x \).

Calculons ses dérivées :

\( f'(x) = 3x^2 - 3 \)

\( f''(x) = 6x \)

Le second dérivé s'annule en \( x=0 \) :

\( f''(0) = 0 \)

On étudie le signe de \( f''(x) \) :

• Pour \( x<0 \), \( f''(x) < 0 \) : la courbe est concave.
• Pour \( x>0 \), \( f''(x) > 0 \) : la courbe est convexe.

Le changement de signe en \( x=0 \) indique un point d'inflexion en \( (0, f(0)) = (0,0) \).

Conclusion

Les points d'inflexion sont importants pour comprendre la forme d'une courbe. Leur identification repose sur l'étude de la dérivée seconde et du changement de convexité.