Polynômes du troisième degré — niveau 1ère

Comprendre, factoriser et résoudre des polynômes du troisième degré en utilisant les racines et les facteurs linéaires.

Objectifs

Repérer les racines d'un polynôme de degré 3 et les mettre sous forme factorisée.
Utiliser le théorème du zéro et la division synthétique pour décomposer \(P(x)\) en facteurs linéaires.
Résoudre des équations polynomiales de degré 3 et interpréter le graphe du polynôme.
Éviter les racines extrinsèques après division et vérifier les solutions obtenues.

Notions clés

Notion 1 – Racines et facteurs linéaires

Définition pratique : un polynôme de degré 3 s’écrit généralement \(P(x)=a x^3+ b x^2+c x+d\) avec \(a\neq 0\). Si \(r\) est une racine, alors \(P(x)= (x-r)Q(x)\) avec \(Q\) un polynôme du second degré.

Exemple de forme factorisée fréquente : \(P(x)=(x-r_1)(x-r_2)(x-r_3)\) lorsque \(P\) a trois racines réelles distinctes.

Notion 2 – Méthodes de résolution

Forme générale d’un polynôme du 3e degré : \(P(x)=a x^3+ b x^2+c x+d\) avec \(a\neq 0\). Si on connaît une racine \(r\), alors \(P(x)=(x-r)Q(x)\) et \(Q\) est du second degré.

Exemple résolu

Énoncé : Soit \(P(x)=x^3-6x^2+11x-6\). Trouver les racines et factoriser.

Test de racines évidentes : \(P(1)=1-6+11-6=0\) et \(P(2)=8-24+22-6=0\). Donc \(x-1\) et \(x-2\) sont des facteurs. Divisons : \[P(x)=(x-1)(x^2-5x+6)=(x-1)(x-2)(x-3)\).

Racines : \(x=1,2,3\).

Forme factorisée : \(P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)\).

Étape 1 : tester \(x=1\) : \(P(1)=0\) ⇒ \(x-1\) est un facteur.

Étape 2 : division : \(P(x)=(x-1)Q(x)\) avec \(Q(x)=x^2-5x+6\).

Étape 3 : factorisation de \(Q(x)\) : \(Q(x)=(x-2)(x-3)\).

Voir la solution détaillée

Résolution complète : \[x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x^2-5x+6)=(x-1)(x-2)(x-3)\\ Les racines sont \(x=1,2,3\).

Interaction et vérifications

Question : Parmi les propositions suivantes, quelle est une racine de \(P(x)=x^3-6x^2+11x-6\) ?

Réponse : 1 est une racine (on peut aussi vérifier \(P(2)=0\) et \(P(3)=0\)).

Cartes mémo (notions clés)

Racines

valeurs de \(x\) telles que \(P(x)=0\)

Facteur

polynôme de degré 1 multiplié par un polynôme de degré 2

Division synthétique

méthode rapide pour diviser par \(x-r\) lorsque \(r\) est une racine

Forme factorisée

\(P(x)=(x-r_1)(x-r_2)(x-r_3)\) lorsque toutes les racines existent

Frise chronologique des idées clés

1er siècle av. J.-C. premiers polynômes étudiés
XIIe-XVe théorie des facteurs linéaires
XIXe développement de la division synthétique et des facteurs
Aujourd'hui résolution et factorisation des polynômes de degré 3

Graphique interactif

Schéma géométrique

Récapitulatif court

Une racine ">r" donne un facteur \(x-r\).
On peut écrire \(P(x)=(x-r_1)(x-r_2)(x-r_3)\) si \(P\) a trois racines réelles.
La division synthétique est utile pour trouver rapidement le quotient lorsqu'une racine est connue.