1. Polynômes

Un polynôme est une expression algébrique de la forme :

P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0

où \( a_n, a_{n-1}, \ldots, a_0 \) sont des nombres (coefficients) et \( n \) est l'

degré du polynôme, avec \( a_n eq 0 \).

2. Factorisation d'un polynôme

Factoriser un polynôme consiste à l'écrire sous la forme :

P(x) = (x - r_1) (x - r_2) \ldots (x - r_k)

où \( r_1, r_2, \ldots, r_k \) sont les racines ou zéros du polynôme.

Exemple : Pour \( P(x) = x^2 - 5x + 6 \), on peut écrire :

P(x) = (x - 2)(x - 3)

3. Zéros et racines d'un polynôme

Les zéros ou racines d'un polynôme \( P(x) \) sont les valeurs de \( x \) telles que :

P(x) = 0

Si un polynôme de degré n admet n racines (avec multiplicité), alors la factorisation s'écrit :

P(x) = a_n (x - r_1)^{m_1} (x - r_2)^{m_2} \ldots (x - r_k)^{m_k}

où chaque \( r_i \) est une racine, et \( m_i \) sa multiplicité.

4. Équations du second degré

Une équation du second degré s'écrit :

ax^2 + bx + c = 0\quad	ext{avec }a 
eq 0

Elle possède :

• Deux solutions réelles distinctes si \( \Delta > 0 \)
• Une solution réelle unique si \( \Delta = 0 \)
• Deux solutions complexes conjugées si \( \Delta < 0 \)

La discriminante \( \Delta \) est donnée par :

\[\Delta = b^2 - 4ac\]

Les solutions sont données par la formule :

\[\ x = rac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\ \]

Exemple : Résoudre l'équation \( 2x^2 - 4x - 6 = 0 \).

\(\Delta = (-4)^2 - 4 imes 2 imes (-6) = 16 + 48 = 64\)

Solutions :

x = rac{-(-4) \pm \sqrt{64}}{2 	imes 2} = rac{4 \pm 8}{4}

Soit :

x = rac{4 + 8}{4} = 3 \quad 	ext{et} \quad x = rac{4 - 8}{4} = -1