1. Polynômes et factorisation

Un polynôme est une expression composée de termes liés entre eux, comme par exemple :

• \( P(x) = 2x^2 - 4x + 2 \)

La factorisation consiste à écrire un polynôme comme le produit de facteurs plus simples. Par exemple :

• \( 2x^2 - 4x + 2 = 2(x^2 - 2x + 1) \)
• \( x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 \)

Donc, on a :

• \( 2x^2 - 4x + 2 = 2(x - 1)^2 \)

2. Zéros et racines d'un polynôme

Les zéros ou racines d'un polynôme \( P(x) \) sont les valeurs de \( x \) qui vérifient \( P(x) = 0 \).

Par exemple, pour \( P(x) = 2(x - 1)^2 \), le zéro est lorsque \( x - 1 = 0 \), donc :

• \( x = 1 \)

Les racines peuvent être réelles ou complexes, selon le polynôme.

3. Résolution des équations du second degré

Une équation du second degré est de la forme :

ax^2 + bx + c = 0

avec \( a eq 0 \).

3.1. Discriminant

Le discriminant \( \Delta \) permet de connaître le nombre de solutions :

\[ \Delta = b^2 - 4ac \]

• \( \Delta > 0 \) : deux solutions réelles distinctes
• \( \Delta = 0 \) : une solution réelle unique
• \( \Delta < 0 \) : deux solutions complexes

3.2. Formules de résolution

Les solutions sont données par :

x = rac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\

où \( \pm \) signifie qu'il faut tester plus et moins la racine carrée de \( \Delta \).

Exemple

Résolvons \( 2x^2 - 4x + 1 = 0 \) :

• \( a=2, \, b=-4, \, c=1 \)
• \( \Delta = (-4)^2 - 4 imes 2 imes 1 = 16 - 8 = 8 \)
• Solutions :
• \( x = rac{-(-4) \pm \sqrt{8}}{2 imes 2} = rac{4 \pm 2\sqrt{2}}{4} \)
• \( x = 1 \pm rac{\sqrt{2}}{2} \)