Polynômes et équations

1. La factorisation

La factorisation consiste à écrire un polynôme comme le produit de facteurs plus simples. Par exemple, pour factoriser x^2 + 5x + 6, on cherche deux nombres dont la somme est 5 et le produit 6 : ce sont 2 et 3. On peut alors écrire :

x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)

2. Zéros et racines d’un polynôme

Les zéros ou racines sont les valeurs de x pour lesquelles le polynôme s'annule, c’est-à-dire P(x) = 0.

Par exemple, pour la factorisation précédente :
Les racines sont -2 et -3.

Pour trouver les racines, il faut :

• Factoriser le polynôme
• Résoudre l’équation polynomiale

3. Équations du second degré

Une équation du second degré a la forme :
ax^2 + bx + c = 0

où a ≠ 0.

Discriminant

Le discriminant Δ est donné par :
Δ = b^2 - 4ac

Il permet de déterminer le nombre de solutions :

• Si Δ > 0, deux solutions réelles distinctes :
  x_1 = (-b - √Δ) / 2a,
  x_2 = (-b + √Δ) / 2a
• Si Δ = 0, une solution unique :
  x = -b / 2a
• Si Δ < 0, pas de solution réelle mais deux solutions complexes :

Résolution de l’équation

1. Calculer Δ
2. En fonction de Δ, déterminer le nombre de solutions
3. Calculer les solutions si nécessaire

Exemple

Résoudre 2x^2 - 4x - 6 = 0.

1. Calcul du discriminant :

Δ = (-4)^2 - 4 * 2 * (-6) = 16 + 48 = 64

2. Δ > 0, donc deux solutions :

x_1 = (4 - √64) / (2*2) = (4 - 8) / 4 = -1

x_2 = (4 + √64) / (2*2) = (4 + 8) / 4 = 3

Les solutions sont -1 et 3.