Polynômes et Factorisation

Définition d'un Polynôme

Un polynôme en une variable \(x\) est une expression algébrique de la forme :

\[P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x + a_0\]

où \(a_n, a_{n-1}, \dots, a_0\) sont des coefficients réels ou complexes et \(a_n eq 0\).

Degré d'un polynôme

Le degré d'un polynôme est le degré du terme de plus haut degré. Par exemple, le polynôme \(3x^4 - 2x^2 + 7\) a pour degré 4.

Opérations sur les polynômes

Addition : en additionnant terme à terme.
Soustraction : en soustrayant terme à terme.
Multiplication : en utilisant la distributivité.
Division : division euclidienne pour polynômes, avec reste.

Factorisation d'un polynôme

La factorisation consiste à écrire un polynôme sous la forme d'un produit de facteurs plus simples. Ceci est essentiel pour résoudre une équation polynomiale.

Cas importants :

Factoriser par regroupement : regroupement de termes pour mettre en facteur commun.
Factoriser par un facteur commun : par exemple, \(ax + ay = a(x + y)\).
Factoriser les trinômes quadratiques : en utilisant la formule du discriminant et la formule factorielle.

Exemple :

Factoriser le polynôme \(x^2 - 5x + 6\).

C'est un trinôme du second degré. On cherche deux nombres dont la somme est \(-5\) et le produit 6 :

\[x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)\]

Les identités remarquables :

\( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
\( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \)
\( (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \)

Résolution d'équations polynomiales

Pour résoudre une équation \(P(x) = 0\), on cherche ses racines en factorisant le polynôme ou en utilisant la formule du discriminant dans le cas quadratique :

\[ \Delta = b^2 - 4ac \]

Selon la valeur de \(\Delta\) :

\(\Delta > 0\) : deux racines réelles distinctes
\(\Delta = 0\) : une racine réelle unique (racine double)
\(\Delta < 0\) : deux racines complexes conjugées

Exemple :

Résoudre \(x^2 - 4x + 3 = 0\).

Calcul du discriminant :

\[ \Delta = (-4)^2 - 4 imes 1 imes 3 = 16 - 12 = 4 \]

Racines :

\[x = rac{4 \pm \sqrt{4}}{2} = rac{4 \pm 2}{2}\]

\[x_1 = 3, \quad x_2 = 1\]