1. Définition d’un Polynôme

Un polynôme en une variable \(x\) est une expression algébrique de la forme :

p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0\;	ext{, avec}\; a_i \in \mathbb{R} 	ext{ ou } \mathbb{C}	ext{,}

où \(a_n eq 0\) et \(n\) est le degré du polynôme.

2. Opérations sur les Polynômes

• Addition : somme de deux polynômes schématiquement réalisée en additionnant les coefficients de même degré.
• Multiplication : appliquée selon la distributivité : \((p(x) imes q(x))\).
• Division : division euclidienne avec reste :

 p(x) = d(x) 	imes q(x) + r(x)\;	ext{avec}\;\deg(r) < \deg(d)\.

3. Factorisation d’un Polynôme

Objectif

Exprimer un polynôme en produit de facteurs.

Méthodes principales

• Recherche de racines : solutions de \(p(x) = 0\).
• Théorème de Factorisation : si \(r\) est une racine, alors \(x - r\) est un facteur de \(p(x)\).
• Factorisation classique : par décompositions (par exemple, différence de deux carrés, trinômes quadratiques...).

Exemple

Factoriser \(p(x) = x^2 - 5x + 6\).

1. Recherche des racines : \(x^2 - 5x + 6 = 0\) ;
2. Facteurs : \((x - 2)(x - 3)\).

4. Récapitulatif

• Un polynôme est une expression algébrique de degré n.
• On peut effectuer des opérations algébriques dessus : addition, multiplication, division.
• La factorisation permet d’écrire le polynôme comme produit de facteurs.
• Les racines du polynôme sont essentielles pour la factorisation.