Polynômes et fractions rationnelles

Définition d’un polynôme

Un polynôme est une expression constituée d'une somme de termes, chacun étant le produit d un coefficient et d’une ou plusieurs variables élevées à des exposants entiers naturels.

Forme générale

Un polynôme en une variable \(x\) s’écrit sous la forme :

\[ P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 \]

où :

• \(a_n, a_{n-1}, \dots, a_0\) sont des coefficients, des nombres réels.
• \(n\) est l’ordre du polynôme.

Exemples

• Le polynôme \(2x^3 - 5x + 7\) est un polynôme de degré 3.
• Le polynôme \(x^2 + 4\) est un polynôme de degré 2.
• Une constante, comme 5, est un polynôme de degré 0.

Caractéristiques importantes

• Le coefficient \(a_n\), associé au terme de degré maximal, s’appelle le coefficient directeur du polynôme.
• Le degré \(n\) indique la complexité et le comportement du polynôme.

En résumé, un polynôme est une expression algébrique constituée de termes avec des entiers naturels en exposants et coefficients réels, permettant d'étudier diverses propriétés mathématiques.