Introduction

Les fractions rationnelles sont des expressions du type \frac{P(x)}{Q(x)} où P(x) et Q(x) sont des polynômes. Pour définir correctement une telle expression, il est important de déterminer pour quelles valeurs de x elle est valide, c'est-à-dire son domaine de définition.

Définition du domaine de définition

Le domaine de définition d'une expression est l'ensemble des valeurs de x pour lesquelles celle-ci est définie, c'est-à-dire ne conduit pas à une situation impossible ou indéfinie.

Dans le cas des fractions rationnelles, l'unique source d'indéfinition est lorsque le dénominateur est nul, car une division par zéro est impossible.

Calcul du domaine pour une fraction rationnelle

Considérons une fraction rationnelle \frac{P(x)}{Q(x)}. Son domaine est :

D = \{ x \in \mathbb{R} \mid Q(x) \neq 0 \}

C'est l'ensemble des valeurs de x pour lesquelles Q(x) n'est pas nul.

Exemple :

Pour la fraction : \frac{3x + 2}{x - 5}
Le dénominateur : Q(x) = x - 5

Le domaine est :
D = \{ x \in \mathbb{R} \mid x - 5 \neq 0 \} = \mathbb{R} \setminus \{ 5 \}

Autrement dit, toutes les valeurs réelles sauf 5.

Résumé

• Le domaine de définition d'une fraction rationnelle est tous les réels sauf ceux qui annulent le dénominateur.
• Il se calcule en résolvant l'équation Q(x) = 0 et en excluant ces solutions du domaine.