Fractions rationnelles

Définition

Une fraction rationnelle est une expression du type \(rac{P(x)}{Q(x)}\), où \emph{P(x)} et \emph{Q(x)} sont des polynômes à coefficients dans un corps, généralement \(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\), avec Q(x) eq 0.

Exemples

• \(rac{2x + 1}{x - 3}\)
• \(rac{x^2 - 4}{x + 2}\)
• \(rac{1}{x}\)

Propriétés importantes

• Le domaine de définition d'une fraction rationnelle est l'ensemble des \(x\) tels que \(Q(x) \neq 0\).
• On peut simplifier une fraction rationnelle en annulant un facteur commun dans le numérateur et le dénominateur, si possible.

Opérations sur les fractions rationnelles

Addition et soustraction

Pour additionner ou soustraire deux fractions rationnelles \(\frac{P_1(x)}{Q_1(x)}\) et \(\frac{P_2(x)}{Q_2(x)}\), il faut mettre au même dénominateur commun :

\[
\frac{P_1(x)}{Q_1(x)} + \frac{P_2(x)}{Q_2(x)} = \frac{P_1(x) \times Q_2(x) + P_2(x) \times Q_1(x)}{Q_1(x) \times Q_2(x)}
\]

Multiplication

Le produit de deux fractions est obtenu en multipliant numérateur et dénominateur :

\[
\frac{P_1(x)}{Q_1(x)} \times \frac{P_2(x)}{Q_2(x)} = \frac{P_1(x) \times P_2(x)}{Q_1(x) \times Q_2(x)}
\]

Division

Pour diviser, on multiplie par l'inverse :

\[
\frac{P_1(x)}{Q_1(x)} \div \frac{P_2(x)}{Q_2(x)} = \frac{P_1(x)}{Q_1(x)} \times \frac{Q_2(x)}{P_2(x)} = \frac{P_1(x) \times Q_2(x)}{Q_1(x) \times P_2(x)}
\]

Réduction et simplification

Pour simplifier une fraction rationnelle :

• Factoriser le numérateur et le dénominateur.
• Annuler les facteurs communs.

Application

Les fractions rationnelles sont utiles pour résoudre des équations, analyser des modèles ou effectuer des opérations algébriques complexes en simplifiant l'expression.