Polynômes et Fractions Rationnelles : Fractions Rationnelles

Introduction

Les fractions rationnelles sont des expressions de la forme fraction \(rac{P(x)}{Q(x)}\), où \(P(x)\) et \(Q(x)\) sont des polynômes et \(Q(x) eq 0\).

Définition

Une fraction rationnelle est une expression écrite sous la forme :

    \(rac{P(x)}{Q(x)}\)

où :

• \(P(x)\) est un polynôme appelé le numérateur.
• \(Q(x)\) est un polynôme appelé le dénominateur, avec \(Q(x) eq 0\).

Exemples

• \(rac{2x + 3}{x - 1}\)
• \(rac{x^2 - 4}{x^2 + 1}\)
• \(rac{5}{x + 2}\)

Opérations sur les fractions rationnelles

Addition et soustraction

Pour additionner ou soustraire deux fractions rationnelles, il faut :

• Mettre au même dénominateur commun.
• Ajouter ou soustraire les numérateurs.

Exemple :

    \[rac{2}{x+1} + rac{3}{x-1} = rac{2(x-1)}{(x+1)(x-1)} + rac{3(x+1)}{(x+1)(x-1)} = rac{2x - 2 + 3x + 3}{(x+1)(x-1)} = rac{5x + 1}{(x+1)(x-1)}\]

Multiplication

Il suffit de multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux :

    \[rac{P(x)}{Q(x)} 	imes rac{R(x)}{S(x)} = rac{P(x) 	imes R(x)}{Q(x) 	imes S(x)}\]

Division

Diviser une fraction par une autre revient à multiplier par son inverse :

    \[rac{P(x)}{Q(x)} \div rac{R(x)}{S(x)} = rac{P(x)}{Q(x)} 	imes rac{S(x)}{R(x)} = rac{P(x) 	imes S(x)}{Q(x) 	imes R(x)}\]

Réduction d'une fraction rationnelle

Pour simplifier une fraction :

• Diviser le numérateur et le dénominateur par leur facteur commun maximal (PGCD pour polynômes).

Ceci permet d'obtenir une fraction irréductible.

Conclusion

Les fractions rationnelles sont utiles pour représenter des expressions mathématiques complexes. La maîtrise des opérations permet de simplifier et manipuler ces expressions efficacement.