Fractions Rationnelles

Définition

Une fraction rationnelle est une expression de la forme f(x) = P(x) / Q(x), où P(x) et Q(x) sont des polynômes et Q(x) ≠ 0.

Propriétés principales

• La fraction est définie pour tout x tel que Q(x) ≠ 0.
• On peut simplifier une fraction en annulant un facteur commun au numérateur et au dénominateur, à condition que ce facteur ne soit pas zéro.
• Les fractions rationnelles peuvent être utilisées pour simplifier des expressions ou résoudre des équations.

Exemples

• f(x) = (2x + 3) / (x - 1)
• g(x) = (x² - 4) / (x + 2)

Opérations sur les fractions rationnelles

Somme et différence

Pour additionner ou soustraire deux fractions rationnelles à> a/b et c/d, on utilise le même principe que pour les fractions classiques :

 
(a/b) ± (c/d) = (ad ± bc) / (bd)

Produit

Le produit de deux fractions est le produit des numerateurs et celui des dénominateurs :

(a/b) × (c/d) = (a × c) / (b × d)

Quotient

Le quotient de deux fractions est le produit de la première par l'inverse de la seconde :

(a/b) ÷ (c/d) = (a/b) × (d/c) = (a × d) / (b × c)

Réduction d'une fraction rationnelle

Pour réduire une fraction à sa forme la plus simple :

1. Factoriser le numérateur et le dénominateur.
2. Annluer les facteurs communs en les divisant par leur plus grand facteur commun (PGCD).

Exercices d'entraînement

• Simplifier la fraction (6x² + 9x) / (3x).
• Calculer la somme de 2/(x+1) et 3/(x-1).
• Factoriser et réduire la fraction (x² - 9) / (x + 3).