Polynômes et fractions rationnelles : Racines et factorisation

1. Introduction aux racines d’un polynôme

Une racine d’un polynôme P(x) est une valeur de x qui annule le polynôme, c’est-à-dire que P(x) = 0.

2. Théorème de la racine évidente

Si (a) est une racine de P(x), alors (x - a) est un facteur de P(x).

3. Méthode de factorisation

Étape 1 : Trouver une racine

Tester des valeurs simples (ex : ±1, ±2, ...) pour trouver une racine.

Étape 2 : Factoriser le polynôme

Utiliser la division euclidienne ou synthétique pour diviser le polynôme par (x - a).

Étape 3 : Répéter

Répéter le processus sur le quotient obtenu jusqu’à ce que le polynôme soit factorisé complètement.

4. Exemples

Exemple 1 : Polynôme du second degré

P(x) = x^2 - 5x + 6

• Trouver les racines : P(x) = 0 → x^2 - 5x + 6 = 0
• Facteurisation : (x - 2)(x - 3) = 0
• Racines : x = 2 ou x = 3

Exemple 2 : Polynôme du troisième degré

P(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 12

• Test d’une racine évidente : x = 2
• Division par (x - 2) : Quotient = x^2 - x - 6
• Factoriser le quotient : (x - 3)(x + 2)
• Factorisation complète : (x - 2)(x - 3)(x + 2)
• Racines : x = 2, 3, -2

5. Conclusion

La racine d’un polynôme permet de le factoriser en le décomposant en facteurs du premier degré. C’est une étape essentielle pour résoudre des équations polynomiales ou simplifier des fractions rationnelles.