Polynômes et fractions rationnelles : Racines et factorisation

Introduction

Les polynômes sont des expressions mathématiques composées de termes avec des puissances d'une variable. Leur étude permet de simplifier et de résoudre diverses équations.

Racines d’un Polynôme

Une racine d’un polynôme P(x) est une valeur de x qui rend P(x) égal à zéro, c’est-à-dire P(x) = 0.

Exemple : pour P(x) = x^2 - 4, les racines sont x = 2 et x = -2 car :

• P(2) = 4 - 4 = 0
• P(-2) = 4 - 4 = 0

Facteur du Polynôme

Un facteur est un polynôme qui divise exactement un autre sans reste, lorsque le reste est nul.

Théorème de Factorisation

Si x = a est une racine de P(x), alors (x - a) est un facteur de P(x).

Procédé de Factorisation

1. Rechercher des racines évidentes (par essai ou par décomposition).
2. Utiliser la division polynomiale ou la méthode de Horner pour diviser le polynôme par le facteur corespondant (x - a).
3. Continuer à factoriser le polynôme obtenu jusqu’à obtenir des facteurs irréductibles.

Exemple de Factorisation

Soit P(x) = x^3 - 3x^2 + 2x.

• On cherche une racine : x = 0 vérifie P(0) = 0, donc (x) est un facteur.
• Division de P(x) par x donne : P(x) = x(x^2 - 3x + 2).
• Factoriser le trinôme : x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2).
• Donc, P(x) = x(x - 1)(x - 2).

Conclusion

La connaissance des racines permet de décomposer un polynôme en facteurs et facilite la résolution d’équations. La méthode consiste à rechercher les racines par essais, puis à utiliser la division pour factoriser complètement le polynôme.