Polynômes et fractions rationnelles : Simplification et étude du signe
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Polynômes et fractions rationnelles : Simplification et étude du signe
I. Simplification d'une fraction rationnelle
Une fraction rationnelle s'écrit sous la forme f(x) = P(x) / Q(x) où P(x) et Q(x) sont des polynômes.
Pour simplifier :
- Identifier et factoriser P(x) et Q(x) si possible.
- Annuler les facteurs communs au numérateur et au dénominateur.
Exemple : f(x) = (x^2 - 1) / (x - 1)
Factorisons :
- x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)
Annulons le facteur (x - 1) :
f(x) = (x + 1), avec x ≠ 1 (car dénominateur zéro)
II. Étude du signe
Pour étudier le signe d’une fraction simplifiée :
- Étudiez le signe de P(x) et Q(x) séparément.
- Les points où P(x) ou Q(x) s’annulent sont critiques : ils peuvent faire changer le signe de f(x).
- Le signe de f(x) est positif si P(x) et Q(x) ont le même signe, négatif si leurs signes sont contraires.
Exemple : Étudions le signe de f(x) = (x + 1) / (x - 2).
Points critiques :
- Numerateur : x + 1 = 0 → x = -1
- Denominateur : x - 2 = 0 → x = 2
Étudions le signe sur les intervalles :
- x < -1 :
- x + 1 < 0
- x - 2 < 0
Signe : négatif / négatif = positif
- -1 < x < 2 :
- x + 1 > 0
- x - 2 < 0
Signe : positif / négatif = négatif
- x > 2 :
- x + 1 > 0
- x - 2 > 0
Signe : positif / positif = positif
Conclusion : f(x) est positif pour x < -1 ou x > 2, et négatif entre -1 et 2.
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