Polynômes et fractions rationnelles : Simplification et étude du signe

Introduction

Ce cours porte sur la simplification de fractions rationnelles et l'analyse du signe de ces expressions pour résoudre des inéquations. Nous verrons comment factoriser un polynôme, déterminer ses racines, et analyser le signe d'une fraction rationnelle.

1. Simplification d'une fraction rationnelle

Une fraction rationnelle est une expression de la forme \(rac{P(x)}{Q(x)}\), où \(P\) et \(Q\) sont des polynômes.

Étapes de simplification :

Factoriser le polynôme au numérateur \(P(x)\) et au dénominateur \(Q(x)\).
Supprimer les facteurs communs au numérateur et au dénominateur.

Exemple : \(rac{x^2 - 9}{x^2 - 6x + 9}\)

\( rac{x^2 - 9}{x^2 - 6x + 9} \) = \(rac{(x - 3)(x + 3)}{(x - 3)^2}\)

Après simplification (en supprimant \((x - 3)\) puisque c'est commun et \(x eq 3\)), on obtient :

\( rac{x + 3}{x - 3} \)

2. Étude du signe d'une fraction rationnelle

Pour analyser le signe de \(rac{P(x)}{Q(x)}\):

Calculer les racines de \(P(x)\) et \(Q(x)\).
Tracer une table de signes en utilisant la méthode du tableau.

Exemple :

Étudions le signe de \(rac{x - 2}{x + 1}\).

Étape 1 : racines

\(P(x) = x - 2\), racine en \(x = 2\).
\(Q(x) = x + 1\), racine en \(x = -1\).

Étape 2 : tableau de signes

Intervals	\(x < -1\)	\(-1 < x < 2\)	\(x > 2\)
Signe de \(x - 2\)	-	-	+
Signe de \(x + 1\)	-	+	+

Le signe de \(rac{x - 2}{x + 1}\) en chaque intervalle est donné par le produit des signes :

\(x < -1\) : \((-)(-)=+\)
\(-1 < x < 2\) : \((-)(+)= -\)
\(x > 2\) : \((+)(+)= +\)

3. Conclusion

En résumé :

Factoriser le plus possible les polynômes pour simplifier la fraction.
Étudier le signe en examinant les racines du numerator et du dénominateur.
Utiliser la table de signes pour définir les intervalles où la fraction est positive, négative ou nulle.

Remarques importante

Les valeurs pour lesquelles le dénominateur \(Q(x)\) est nul sont exclues de la solution, car la fraction n'est pas définie en ces points.