Polynômes et fractions rationnelles : Simplification et étude du signe

Introduction

Dans cette leçon, nous allons étudier comment simplifier une expression avec des fractions rationnelles et analyser le signe de ces expressions en fonction de la variable.

1. Simplification des fractions rationnelles

Définition

Une fraction rationnelle est une expression du type f(x) = P(x) / Q(x), où P et Q sont des polynômes. La simplification consiste à réduire cette fraction en supprimant des facteurs communs au numérateur et au dénominateur.

Procédure de simplification

1. Factoriser P(x) et Q(x) en produits de facteurs premiers ou simples.
2. Identifier les facteurs communs à P et Q.
3. Les supprimer dans la fraction pour obtenir une forme simplifiée.

Exemple

Expression : ÷ ÷ ÷ (x^2 - 4) / (x^2 - 2x)

• Factoriser : (x-2)(x+2) / x(x-2)
• Supprimer le facteur commun (x-2) : (x+2)/ x

2. Étude du signe de l'expression

Objectif

Déterminer pour quelles valeurs de x l'expression est positive, négative ou nulle.

Méthode

1. Repérer le domaine de définition : où le dénominateur est différent de zéro.
2. Factoriser le numérateur et le dénominateur pour déterminer leurs racines (zéros).
3. Étudier le signe de chaque facteur en utilisant un tableau de signes.
4. Construire le tableau de signes de l'expression complète.

Exemple

Expression simplifiée : ÷ ÷ ÷ (x+2)/ x

• Domaines définis : x eq 0
• Zéros du numérateur : x = -2
• Signes des facteurs :
• x+2 : positif si x > -2, négatif si x < -2
• x : positif si x > 0, négatif si x < 0
• Tableau de signes :

Intervalle	x < -2	-2 < x < 0	x > 0
Signe du numérateur	-	+	+
Signe du dénominateur	-	-	+
Signe de l'expression	(-)/(-)= +	(+)/(-)= -	(+)/(+)= +

Conclusion

La simplification permet d'obtenir une expression plus simple à analyser. L'étude du signe se fait en utilisant la factorisation et la construction d'un tableau de signes. Cela permet de déterminer l'ensemble des solutions correspondant à chaque signe de l'expression.