Apprendre à simplifier un polynôme ou une fraction rationnelle et à étudier le signe d'une expression.

Objectifs

Savoir simplifier un polynôme ou une fraction rationnelle.
Étudier le signe d'une expression à l'aide du discriminant ou du tableau de signes.

Notions clés

Polynômes : Expression algébrique avec des termes en \(x\) élevés à des puissances entières positives ou nulles.
Fraction rationnelle : Quotient de deux polynômes, par exemple \(\frac{P(x)}{Q(x)}\).
Simplification : Réduire une expression en regroupant ou en factorisant pour la rendre plus simple.
Étude du signe : Déterminer où une expression est positive, négative ou nulle, souvent en utilisant un tableau de signes.

Exemple résolu : simplification et étude du signe de \(\frac{x^2 - 4}{x - 2}\)

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Étape 1 : Factoriser le numérateur : \(x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)\).

Étape 2 : Simplifier l'expression : \(\frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2}\). Il faut faire attention à la division par zéro.

Étape 3 : Exclure la valeur \(x = 2\) (car cela annulerait le dénominateur). La simplification donne donc : \(\frac{x + 2}{1}\) pour tout \(x \neq 2\).

Étape 4 : Étudier le signe de \(\frac{x + 2}{1}\) : - La fraction est positive si \(x + 2 > 0 \Rightarrow x > -2\). - Nulle si \(x = -2\). - Négative si \(x < -2\).

Étape 5 : Prendre en compte la valeur exclue \(x = 2\). La réponse finale : - \(f(x) > 0\) pour \(x > -2\) et \(x \neq 2\), - \(f(x) = 0\) pour \(x = -2\), - \(f(x) < 0\) pour \(x < -2\).

Erreurs fréquentes

Résumé

La simplification d'un polynôme ou d'une fraction rationnelle facilite son étude.
Étudier le signe implique de factoriser et de faire un tableau de signes pour repérer les intervalles où l'expression est positive, négative ou nulle.
Il faut toujours vérifier les valeurs exclues du domaine.

Cartes mémo

Polynôme

Expression en \(x\) avec des termes en puissances entières positives ou nulles

Fraction rationnelle

Quotient de deux polynômes avec domaine à préciser

Simplification

Réduction d'une expression en factorisant et en annulant ce qui est commun

Étude du signe

Analyse du signe d'une expression à l'aide de facteurs et d'un tableau de signes