Polynômes : racine évidente, schéma de Horner et signe d'un polynôme de degré 3

Si \(a\) est une racine d'un polynôme \(P\), on peut écrire \(P(x) = (x-a)Q(x)\) : en trouvant une racine évidente puis \(Q\) par identification ou par le schéma de Horner, on factorise un polynôme de degré 3, on résout \(P(x)=0\) et on étudie son signe.

Objectifs

Revoir le vocabulaire : polynôme, coefficients, degré, égalité de deux polynômes.
Connaître et utiliser le théorème : \(a\) racine de \(P\) \(\iff\) \(P(x)=(x-a)Q(x)\).
Trouver le quotient \(Q\) par la méthode d'identification des coefficients et par le schéma de Horner.
Factoriser complètement un polynôme de degré 3 et dresser son tableau de signes.
Résoudre un problème concret qui mène à une équation de degré 3.

1. Rappels : polynôme, degré, égalité

Un polynôme est une fonction de la forme

\[ P(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 \]

où les \(a_k\) sont des réels appelés coefficients. Si \(a_n \neq 0\), l'entier \(n\) est le degré de \(P\), noté \(\deg P\), et \(a_n\) est le coefficient dominant.

\(\deg(P \times Q) = \deg P + \deg Q\) ;
\(\deg(P+Q) \leq \max(\deg P, \deg Q)\).

Exemple résolu 1

Trouver les réels \(a\), \(b\), \(c\) tels que, pour tout réel \(x\) : \(ax^2 + (b-1)x + 3 = 2x^2 + 5x + c\).

Cherche d'abord, puis vois la solution

Coefficients de \(x^2\) : \(a = 2\).

Coefficients de \(x\) : \(b - 1 = 5\), donc \(b = 6\).

Termes constants : \(c = 3\).

Quel est le degré de \(P(x) = (2x^2+1)(x^3-x)\) ?

Le degré d'un produit est la somme des degrés : \(2 + 3 = 5\). Le terme de plus haut degré est \(2x^5\).

2. Racine et factorisation par \(x-a\)

Un réel \(a\) est une racine de \(P\) si \(P(a) = 0\).

Idée de la preuve. Pour tout entier \(k \geq 1\), \(x^k - a^k = (x-a)(x^{k-1} + x^{k-2}a + \dots + a^{k-1})\). Donc \(P(x) - P(a) = \sum_{k=1}^{n} a_k (x^k - a^k)\) se factorise par \(x-a\). Si \(P(a)=0\), on obtient \(P(x) = (x-a)Q(x)\).

Méthode A : identification des coefficients

Exemple résolu 2

Factoriser \(P(x) = x^3 - 7x + 6\).

Cherche d'abord, puis vois la solution

Racine évidente : \(P(1) = 1 - 7 + 6 = 0\). Donc \(P(x) = (x-1)(ax^2+bx+c)\).

On développe : \((x-1)(ax^2+bx+c) = ax^3 + (b-a)x^2 + (c-b)x - c\).

On identifie avec \(x^3 + 0x^2 - 7x + 6\) : \(a = 1\), \(b - a = 0\) donc \(b=1\), \(c - b = -7\) donc \(c=-6\), et \(-c = 6\) : c'est cohérent.

\(x^2 + x - 6\) a pour discriminant \(\Delta = 1 + 24 = 25\), racines \(\frac{-1-5}{2} = -3\) et \(\frac{-1+5}{2} = 2\).

Conclusion : \(P(x) = (x-1)(x-2)(x+3)\).

Méthode B : le schéma de Horner

Le schéma de Horner donne directement les coefficients de \(Q\). On écrit les coefficients de \(P\) (sans en oublier, même nuls), puis : on abaisse le premier, on le multiplie par \(a\), on l'ajoute au coefficient suivant, et on recommence. Le dernier nombre obtenu est \(P(a)\) : il doit valoir 0.

Exemple résolu 3

Soit \(P(x) = 2x^3 - 3x^2 - 11x + 6\). Vérifier que 3 est racine et factoriser \(P\).

On abaisse le premier coefficient : 2.

2 × 3 = 6, que l'on ajoute à −3 : on obtient 3.

3 × 3 = 9, que l'on ajoute à −11 : on obtient −2.

−2 × 3 = −6, que l'on ajoute à 6 : on obtient 0. Le reste est nul, donc P(3) = 0.

Voir la factorisation complète

La dernière ligne 2, 3, −2 donne \(Q(x) = 2x^2 + 3x - 2\), donc \(P(x) = (x-3)(2x^2+3x-2)\).

\(\Delta = 3^2 - 4 \times 2 \times (-2) = 9 + 16 = 25\), racines \(x_1 = \frac{-3-5}{4} = -2\) et \(x_2 = \frac{-3+5}{4} = \frac{1}{2}\).

\(2x^2+3x-2 = 2(x+2)\left(x-\frac{1}{2}\right) = (x+2)(2x-1)\).

Conclusion : \(P(x) = (x-3)(x+2)(2x-1)\). Vérification : \(P(0) = (-3)(2)(-1) = 6\), qui est bien le terme constant.

Lequel de ces nombres est une racine de \(P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6\) ?

2
−1
1
0

\(P(1) = 1 - 2 - 5 + 6 = 0\). En revanche \(P(2) = -4\), \(P(-1) = 8\) et \(P(0) = 6\).

On divise \(x^3 + 2x^2 - x - 2\) par \(x - 1\) avec le schéma de Horner. Quel quotient obtient-on ?

\(x^2 + 3x + 2\)
\(x^2 + x - 2\)
\(x^2 + 3x - 2\)
\(x^2 - 3x + 2\)

Coefficients 1, 2, −1, −2 avec \(a = 1\) : on obtient 1, puis \(2+1 = 3\), puis \(-1+3 = 2\), puis \(-2+2 = 0\). Le quotient est \(x^2 + 3x + 2\).

3. Signe d'un polynôme factorisé

On étudie le signe de chaque facteur \(x - a\) (négatif avant \(a\), positif après), puis on applique la règle des signes d'un produit.

Exemple résolu 4

Étudier le signe de \(P(x) = (x+2)(2x-1)(x-3)\), puis résoudre \(P(x) \leq 0\).

\(x\)	\(-\infty\) à \(-2\)	\(-2\) à \(\frac{1}{2}\)	\(\frac{1}{2}\) à \(3\)	\(3\) à \(+\infty\)
\(x+2\)	−	+	+	+
\(2x-1\)	−	−	+	+
\(x-3\)	−	−	−	+
\(P(x)\)	−	+	−	+

\(P\) s'annule en \(-2\), \(\frac{1}{2}\) et \(3\). Donc :

\[ P(x) \leq 0 \iff x \in \left]-\infty\,;\,-2\right] \cup \left[\tfrac{1}{2}\,;\,3\right] \]

Contrôle : \(P(0) = 6 > 0\) et 0 est bien dans \(\left]-2\,;\,\frac{1}{2}\right[\), où le tableau indique +.

Fais varier le terme constant \(k\) : pour \(k = 6\), la courbe coupe l'axe des abscisses en \(-2\), \(\frac{1}{2}\) et \(3\), et l'on retrouve les signes du tableau.

Quel est le signe de \(P(x) = (x+2)(2x-1)(x-3)\) sur l'intervalle \(\left]\frac{1}{2}\,;\,3\right[\) ?

Positif
Négatif
Nul
Il change de signe dans l'intervalle

Sur cet intervalle, \(x+2 > 0\), \(2x-1 > 0\) et \(x-3 < 0\) : le produit est négatif. Par exemple \(P(1) = 3 \times 1 \times (-2) = -6\). Aucune racine n'est dans l'intervalle, donc le signe ne change pas.

4. Problème de synthèse : la boîte en carton

Cherche d'abord, puis vois la solution

La boîte mesure \(20 - 2x\) sur \(12 - 2x\), pour une hauteur \(x\). Il faut \(0 < x < 6\) (sinon la largeur \(12-2x\) n'est plus positive).

Volume : \(V(x) = x(20-2x)(12-2x) = x(4x^2 - 64x + 240) = 4x^3 - 64x^2 + 240x\).

\(V(x) = 256 \iff 4x^3 - 64x^2 + 240x - 256 = 0 \iff x^3 - 16x^2 + 60x - 64 = 0\) (on divise par 4).

Racine évidente : \(2^3 - 16 \times 4 + 60 \times 2 - 64 = 8 - 64 + 120 - 64 = 0\). Donc 2 est racine.

Horner avec \(a = 2\) sur 1, −16, 60, −64 : on obtient 1, −14, 32 et un reste 0. Donc \(x^3 - 16x^2 + 60x - 64 = (x-2)(x^2 - 14x + 32)\).

\(\Delta = 196 - 128 = 68\), racines \(7 - \sqrt{17} \approx 2{,}88\) et \(7 + \sqrt{17} \approx 11{,}12\). La seconde n'est pas dans \(]0\,;\,6[\).

Conclusion : \(x = 2\) cm ou \(x = 7 - \sqrt{17} \approx 2{,}88\) cm. Vérification pour \(x=2\) : \(2 \times 16 \times 8 = 256\) cm³.

Dans le problème de la boîte, pourquoi rejette-t-on la racine \(7 + \sqrt{17}\) ?

Parce qu'elle est négative
Parce qu'elle est supérieure à 6
Parce qu'elle n'est pas un nombre entier
Parce qu'elle donne un volume négatif

\(7 + \sqrt{17} \approx 11{,}12\) est positive, mais la contrainte est \(0 < x < 6\) : la largeur \(12 - 2x\) serait négative. Le fait de ne pas être entier n'est pas un motif (on garde \(7 - \sqrt{17}\)).

Erreurs fréquentes

Oublier un coefficient nul dans le schéma de Horner.
Écrire \(P(x) = (x+a)Q(x)\) au lieu de \((x-a)Q(x)\) quand \(a\) est racine : si \(-2\) est racine, le facteur est \(x+2\).
Oublier le coefficient dominant en factorisant un trinôme : \(2x^2+3x-2 = 2(x+2)\left(x-\frac{1}{2}\right)\), pas \((x+2)\left(x-\frac{1}{2}\right)\).
Garder une racine hors du domaine du problème.

Récapitulatif

\(a\) racine de \(P\) \(\iff\) \(P(x) = (x-a)Q(x)\) avec \(\deg Q = \deg P - 1\).
On trouve \(Q\) par identification ou par le schéma de Horner (le dernier nombre est \(P(a)\)).
On factorise ensuite \(Q\) (trinôme : discriminant), puis on dresse le tableau de signes.
Dans un problème, on garde seulement les racines qui respectent les contraintes.

Racine d'un polynôme

Un réel a tel que P(a) = 0.

Théorème de factorisation

a est racine de P si et seulement si P(x) = (x − a)Q(x), avec deg Q = deg P − 1.

Racine évidente

Essayer 1, −1, 2, −2… ; 1 est racine si la somme des coefficients est nulle.

Schéma de Horner

Abaisser, multiplier par a, ajouter ; le dernier nombre est P(a), les autres sont les coefficients de Q.

Identification

Deux polynômes égaux ont les mêmes coefficients, terme à terme.