Objectifs

• Identifier le degré, les coefficients et le coefficient dominant d'un polynôme.
• Calculer la somme et la différence de deux polynômes et prévoir leur degré.
• Calculer le produit de deux polynômes par développement et par la formule des coefficients (convolution).
• Utiliser les règles sur les degrés pour contrôler un calcul.

Notions clés

1. Vocabulaire : degré, coefficients, coefficient dominant

Un polynôme (ou fonction polynôme) est une expression de la forme

\[P(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0,\]

où \(a_0, a_1, \dots, a_n\) sont des réels appelés coefficients et \(n\) un entier naturel.

• Si \(a_n \neq 0\), le degré de \(P\) est \(n\) : on note \(\deg P = n\).
• \(a_n\) est le coefficient dominant ; \(a_0\) est le terme constant.
• Le polynôme nul (tous les coefficients nuls) n'a pas de degré (par convention, certains manuels écrivent \(-\infty\)).

Exemple : \(P(x) = -4x^3 + 2x - 7\) a pour degré 3, pour coefficient dominant \(-4\) ; ses coefficients sont \(a_3=-4\), \(a_2 = 0\), \(a_1 = 2\), \(a_0 = -7\).

2. Somme et différence

Si \(P(x) = \sum a_k x^k\) et \(Q(x) = \sum b_k x^k\), alors :

\[(P+Q)(x) = \sum (a_k + b_k)\,x^k \qquad (P-Q)(x) = \sum (a_k - b_k)\,x^k\]

Degré d'une somme : \(\deg(P+Q) \le \max(\deg P, \deg Q)\).

• Si \(\deg P \neq \deg Q\), alors \(\deg(P+Q) = \max(\deg P,\deg Q)\).
• Si \(\deg P = \deg Q\), le degré peut baisser lorsque les coefficients dominants s'annulent. Exemple : \((3x^2 + x) + (-3x^2 + 5) = x + 5\), de degré 1.

Le graphique montre \(P(x) = 2x^2-3x+1\), \(Q(x) = x+k\) et leur somme \(P+Q\). Fais varier \(k\) : la somme se décale verticalement, mais reste de degré 2.

3. Le produit : développer, puis regrouper

On multiplie chaque terme de \(P\) par chaque terme de \(Q\) (double distributivité), puis on regroupe les termes de même degré, en utilisant \(x^i \times x^j = x^{i+j}\).

Formule des coefficients (convolution) : si \(P = \sum a_i x^i\) et \(Q = \sum b_j x^j\), le coefficient de \(x^k\) dans \(PQ\) est

\[c_k = \sum_{i+j=k} a_i\, b_j = a_0 b_k + a_1 b_{k-1} + \dots + a_k b_0 .\]

Autrement dit, pour obtenir le coefficient de \(x^k\), on prend toutes les paires de termes dont les exposants ont pour somme \(k\).

Degré et coefficient dominant d'un produit (pour \(P\) et \(Q\) non nuls) :

\[\deg(PQ) = \deg P + \deg Q, \qquad \text{coefficient dominant de } PQ = a_n \times b_m .\]

Dans ce tableau, les cases de même couleur ont le même degré : elles sont sur une même diagonale, car \(i+j\) y est constant. C'est exactement la formule \(c_k = \sum_{i+j=k} a_i b_j\).

Exemples résolus

Exemple 1 : somme, différence et produit

Soit \(P(x) = 2x^2 - 3x + 1\) et \(Q(x) = x + 4\). Calcule \(P+Q\), \(P-Q\) et \(PQ\).

Exemple 2 : un produit où des termes disparaissent

Calcule \((x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)\). Cherche d'abord le degré et le coefficient dominant.

Exemple 3 : un seul coefficient

Sans tout développer, trouve le coefficient de \(x^2\) dans \((3x^2 + 2x - 1)(x^2 - 4x + 5)\).

Erreurs fréquentes

• Écrire \(x^2 \times x^3 = x^6\) : les exposants s'additionnent, \(x^2\times x^3 = x^5\).
• Additionner des termes de degrés différents : \(2x^2 + 3x\) ne se simplifie pas en \(5x^3\).
• Oublier une paire dans la formule de \(c_k\) : écrire toutes les paires \((i,j)\) avec \(i+j=k\) avant de calculer.
• Affirmer que \(\deg(P+Q) = \max(\deg P,\deg Q)\) dans tous les cas : c'est faux quand les coefficients dominants s'annulent.

Récapitulatif

• Degré = plus grande puissance de coefficient non nul ; coefficient dominant = son coefficient.
• Somme et différence : on combine les coefficients de même degré ; \(\deg(P+Q) \le \max(\deg P,\deg Q)\).
• Produit : \(c_k = \sum_{i+j=k} a_i b_j\) ; \(\deg(PQ) = \deg P + \deg Q\) ; coefficient dominant \(= a_n b_m\).
• Contrôler un calcul : vérifier le degré, le coefficient dominant, puis une valeur simple de \(x\).