Ce cours explique comment déterminer la position d’une droite par rapport à un plan (et inversement) dans l’espace.

Objectifs

Comprendre la notion de position relative entre une droite et un plan dans l’espace.
Savoir distinguer si une droite est située sur, parallèle ou sécante à un plan.
Utiliser des méthodes géométriques pour établir ces positions.

Notions clés

Plan : surface géométrique infinie défini par une équation.
Droite : segment ou ligne infinie dans l’espace, définie par un vecteur direct et un point.
Position relative :

Une droite peut être incluse dans, parallèle à ou sécante avec un plan.
Deux plans peuvent être identiques, parallèles ou sécants.

Exemple résolu

Problème

Soit le plan \( \mathcal{P} \) défini par l’équation \( 2x - y + 3z = 5 \) et la droite \( \mathcal{D} \) passant par le point \( A(1, 2, 0) \) avec un vecteur directeur \( \vec{u} = (3, -1, 2) \). Quelle est la position de la droite par rapport au plan ?

Solution

Equation paramétrique de la droite :

\[ \begin{cases} x = 1 + 3t \ y = 2 - t \ z = 0 + 2t \end{cases} \]

Substituer dans l’équation du plan :

\[ 2(1+3t) - (2 - t) + 3(2t) = 5 \] \[ 2 + 6t - 2 + t + 6t = 5 \] \[ 13t = 5 \] \end{div>

Déterminer si le résultat est cohérent :

> Si \( t = \frac{5}{13} \neq 0 \), la droite coupe le plan en un point, donc elle est sécante.

Conclusion : La droite est sécante au plan.

Voir la solution

👉 La substitution du paramètre dans l’équation du plan donne une valeur de \( t = \frac{5}{13} \neq 0 \), donc la droite coupe le plan en un point et n’est ni contenue ni parallèle.

Mini-quiz

Que signifie une droite incluse dans un plan ?

Elle coupe le plan en un point
Elle est totalement contenue dans le plan
Elle est parallèle au plan

Réponse 1 : incluse dans un plan signifie que tous ses points appartiennent au plan.

Erreurs fréquentes

Récapitulatif

Droite dans un plan: La droite est entièrement contenue dans le plan (tous ses points vérifient l’équation).
Droite parallèle au plan: Les vecteurs directeurs et normaux sont orthogonaux ou la droite ne coupe pas le plan.
Droite sécante au plan: La droite coupe le plan en un seul point.

Deux plans: Identiques, parallèles ou sécants le long d’une ligne d’intersection.

Mini-mémo

Incluse dans un plan

Tous les points de la droite appartiennent au plan

Droite parallèle

Vecteur directeur orthogonal au vecteur normal du plan

Droite sécante

Coupe le plan en un seul point

Schéma résumé

flowchart LR
    A[Droite dans le plan]
    B[Droite parallèle au plan]
    C[Droite sécante au plan]
    A -- Tous points dans le plan --> D[Incluse]
    B -- Vecteur directeur orthogonal --> E[Parallèle]
    C -- Coupe en un point --> F[Sécante]