Pourcentages, échelles, coefficient de proportionnalité
Pourcentages, échelles, coefficient de proportionnalité
Deux grandeurs sont proportionnelles quand on passe de l'une à l'autre en multipliant toujours par le même nombre : ce nombre magique sert à calculer des pourcentages, des réductions au marché et des distances sur une carte.
Objectifs
- Reconnaître une situation de proportionnalité et trouver son coefficient.
- Calculer une quatrième proportionnelle (produit en croix).
- Appliquer un pourcentage, calculer une augmentation ou une réduction avec un coefficient multiplicateur.
- Utiliser une échelle pour passer d'un plan ou d'une carte à la réalité, et inversement.
1. Le coefficient de proportionnalité
Deux grandeurs sont proportionnelles si l'on obtient les valeurs de la seconde en multipliant celles de la première par un même nombre \(k\), appelé coefficient de proportionnalité :
\[ y = k \times x \]| Nombre de beignets \(x\) | 2 | 5 | 10 |
|---|---|---|---|
| Prix \(y\) (F CFA) | 100 | 250 | 500 |
Ici \(k = \dfrac{100}{2} = \dfrac{250}{5} = \dfrac{500}{10} = 50\). Pour vérifier qu'un tableau est de proportionnalité, on calcule tous les quotients \(\dfrac{y}{x}\) : ils doivent être égaux.
Voir la proportionnalité
La représentation graphique d'une situation de proportionnalité est une droite qui passe par l'origine. Bouge le curseur \(k\) : la droite tourne autour de l'origine, mais passe toujours par le point \((0\,;\,0)\).
La quatrième proportionnelle (produit en croix)
Si \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\) (avec \(b\) et \(d\) non nuls), alors \(a \times d = b \times c\). On s'en sert pour trouver une valeur manquante :
\[ \frac{3}{750} = \frac{8}{x} \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{750 \times 8}{3} = 2000 \]Exemple résolu 1
Lequel de ces tableaux est un tableau de proportionnalité ? (première ligne puis deuxième ligne)
2. Les pourcentages
Prendre \(t\,\%\) d'une quantité, c'est la multiplier par \(\dfrac{t}{100}\) :
\[ t\,\%\ \text{de}\ Q = \frac{t}{100} \times Q \]Calculer le pourcentage que représente une partie d'un tout :
\[ \text{pourcentage} = \frac{\text{partie}}{\text{tout}} \times 100 \]Augmentation et réduction : le coefficient multiplicateur
- Augmenter de \(t\,\%\), c'est multiplier par \(1 + \dfrac{t}{100}\). Exemple : \(+20\,\%\) donne \(\times 1{,}20\).
- Diminuer de \(t\,\%\), c'est multiplier par \(1 - \dfrac{t}{100}\). Exemple : \(-15\,\%\) donne \(\times 0{,}85\).
Exemple résolu 2 : une hausse
Exemple résolu 3 : une réduction
Voir la solution
\[ 8000 \times \left(1 - \frac{15}{100}\right) = 8000 \times 0{,}85 = 6800 \]On paie 6 800 F CFA. Vérification : la réduction vaut \(\frac{15}{100} \times 8000 = 1200\) F CFA, et \(8000 - 1200 = 6800\).
Exemple résolu 4 : calculer un pourcentage
Par quel nombre multiplie-t-on un prix pour le diminuer de 30 % ?
Un téléphone passe de 50 000 F à 60 000 F. De quel pourcentage a-t-il augmenté ?
3. Les échelles
Sur un plan ou une carte, les longueurs dessinées sont proportionnelles aux longueurs réelles. L'échelle est le coefficient de proportionnalité :
\[ \text{échelle} = \frac{\text{distance sur le plan}}{\text{distance réelle}} \quad \text{(les deux dans la même unité)} \]Une échelle de \(\dfrac{1}{50}\) signifie : 1 cm sur le plan représente 50 cm en réalité.
On mesure la longueur sur le plan : 8 cm.
Échelle 1/50 : chaque centimètre du plan vaut 50 cm en vrai, on multiplie donc par 50.
On obtient 400 cm, que l'on convertit : 4 m.
Exemple résolu 5 : du plan à la réalité
Exemple résolu 6 : de la réalité au plan
Voir la solution
On convertit d'abord : \(6\ \text{m} = 600\ \text{cm}\). Puis \(600 \div 50 = 12\). La salle mesure 12 cm sur le plan.
Trouver l'échelle
Si un terrain de 30 m de long est représenté par 6 cm : \(\text{échelle} = \dfrac{6\ \text{cm}}{3000\ \text{cm}} = \dfrac{1}{500}\).
Sur une carte à l'échelle 1/100 000, 4 cm représentent…
Récapitulatif
- Proportionnalité : \(y = k \times x\) ; tous les quotients \(\frac{y}{x}\) sont égaux ; le graphique est une droite passant par l'origine.
- Produit en croix : si \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\), alors \(ad = bc\).
- \(t\,\%\) de \(Q\) : \(\frac{t}{100} \times Q\). Augmenter de \(t\,\%\) : \(\times\left(1 + \frac{t}{100}\right)\) ; diminuer : \(\times\left(1 - \frac{t}{100}\right)\).
- Échelle \(= \frac{\text{distance plan}}{\text{distance réelle}}\), dans la même unité.
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