La poussée d'Archimède est la force ascendante qu'exerce un fluide sur un corps immergé ; elle vaut le poids du fluide déplacé.

Poussée d'Archimède

Niveau : Terminale — Thème : Fluides et dynamique

Objectifs

Comprendre l'origine physique de la poussée d'Archimède.
Savoir calculer sa valeur et l'appliquer aux problèmes de flottabilité.
Relier densité, volume immergé et équilibre de translation.

Notions clés

Définition qualitative

La poussée d'Archimède est la résultante des forces de pression exercées par le fluide sur les faces d'un corps immergé. Elle est dirigée verticalement vers le haut et dépend du volume de fluide déplacé.

Formule (version scalaire)

La valeur de la poussée d'Archimède est égale au poids du fluide déplacé :

\(F_{A}=\rho_{fluide}\,g\,V_{déplacé}\)

Formule (version vectorielle et dérivation succincte)

En notation vectorielle, en prenant \(\vec{e}_z\) comme vecteur unitaire vertical vers le haut :

\[ \vec{F}_A = \rho_{fluide} g V\,\vec{e}_z. \]

Preuve très courte (principe des pressions) :

\begin{align} \vec{F}_A &= -\iint_{\partial V} p\,\vec{n}\,dS \\ &= -\int_V \nabla p\,dV \\ &= -\int_V (-\rho_{fluide} g\,\vec{e}_z)\,dV \\ &= \rho_{fluide} g V\,\vec{e}_z. \end{align}

Flottabilité et équilibre

Pour un objet de masse \(m\) et de volume total \(V_{tot}\) immergé partiellement (volume immergé \(V_{imm}\)), l'équilibre vertical stable en translation demande :

\[ m g = \rho_{fluide} g V_{imm}. \]

On en déduit la fraction immergée :

\[ \frac{V_{imm}}{V_{tot}} = \frac{\rho_{objet}}{\rho_{fluide}}. \]

Bloc partiellement immergé : la flèche verte représente la poussée d'Archimède (vers le haut), la rouge le poids (vers le bas).

Quelle grandeur détermine directement la valeur de la poussée d'Archimède ?

La masse totale de l'objet
Le volume de fluide déplacé
La surface de l'objet

La poussée vaut le poids du fluide déplacé, donc elle dépend du volume de fluide déplacé (et de la masse volumique du fluide).

Exemples résolus

Exemple 1 — Bloc de bois sur l'eau

Un bloc de bois a une masse volumique \(\rho_{bois}=600\ \mathrm{kg\,m^{-3}}\) et un volume total \(V_{tot}=0{,}02\ \mathrm{m^3}.\) Il flotte sur l'eau de masse volumique \(\rho_{eau}=1000\ \mathrm{kg\,m^{-3}}\). Déterminez la fraction du volume immergée.

Voir la solution

Étape 1 : écrire l'équilibre : \(m g = \rho_{eau} g V_{imm}\). Remarquez que \(m=\rho_{bois} V_{tot}.\)

Étape 2 : remplacer : \(\rho_{bois} V_{tot} g = \rho_{eau} g V_{imm}\) donc \(\dfrac{V_{imm}}{V_{tot}}=\dfrac{\rho_{bois}}{\rho_{eau}}.\)

Étape 3 : calcul numérique : \(\dfrac{V_{imm}}{V_{tot}}=\dfrac{600}{1000}=0{,}6.\) Donc 60% du volume est immergé.

Exemple 2 — Sphère entièrement immergée

Une sphère de rayon \(R=0{,}10\ \mathrm{m}\) est complètement immergée dans un liquide de masse volumique \(\rho=850\ \mathrm{kg\,m^{-3}}\). Calculer la poussée d'Archimède.

Voir la solution

\begin{align} V &= \dfrac{4}{3}\pi R^3 = \dfrac{4}{3}\pi (0{,}10)^3 = 4{,}19\times 10^{-3}\ \mathrm{m^3},\\ F_A &= \rho g V = 850\times 9{,}81\times 4{,}19\times 10^{-3} \\ &\approx 34{,}9\ \mathrm{N}. \end{align}

Pour que la fraction immergée d'un objet augmente, il faut :

augmenter la densité de l'objet
augmenter la densité du fluide
réduire la gravité

Si l'objet est plus dense, il doit immerger davantage pour déplacer un volume de fluide dont le poids compense le sien.

Erreurs fréquentes

Penser que la poussée dépend de la profondeur absolue : non, elle dépend du volume de fluide déplacé et de la masse volumique locale du fluide.
Oublier le g commun aux deux membres lors de l'équilibre : il se simplifie.
Confondre flottabilité statique et forces dynamiques (vitesse, traînée).

Si vous doublez la profondeur d'un objet entièrement immergé mais sans changer le fluide, la poussée d'Archimède :

double
diminue
reste la même

La poussée dépend du volume immergé et de la masse volumique locale du fluide : pour un corps rigidement immergé, si son volume immergé ne change pas, la poussée reste la même.

Récapitulatif

Poussée d'Archimède : \(F_A=\rho_{fluide} g V_{déplacé}\).
Flotte si \(m g \le F_A\) (équilibre lorsque égalité) ; fraction immergée \(=\rho_{objet}/\rho_{fluide}\).
Origine : différence de pression entre bas et haut du corps.

Cartes mémo

Poussée d'Archimède

Force ascendante égale au poids du fluide déplacé : \(F_A=\rho g V\)

Fraction immergée

\(V_{imm}/V_{tot}=\rho_{objet}/\rho_{fluide}\)

Condition de flotabilité

Flotte si \(m g \le \rho_{fluide} g V_{tot}\) (pour immersion totale utiliser \(V_{tot}\))

Origine physique

Différence de pression hydrostatique entre la face inférieure et la face supérieure