Preuve du théorème de Pythagore

Introduction

Le théorème de Pythagore concerne les triangles rectangles. Il affirme que, dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse (c) est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés (a et b). Mathématiquement, cela s'écrit :

\[ c^2 = a^2 + b^2 \]

Objectif de la preuve

Nous allons démontrer cette relation en utilisant une méthode géométrique, c'est-à-dire en construisant des figures pour visualiser et comprendre la relation entre les côtés.

Preuve géométrique : la méthode des carrés déposés

Étape 1 : construction

Considérons un triangle rectangle avec les côtés a, b et l'hypoténuse c. Construisons un grand carré dont le côté est égal à \( a + b \).

Ce carré a pour superficie :

\[ (a + b)^2 \]

Étape 2 : subdivision du grand carré

À l'intérieur de ce carré, dessinons quatre copies du triangle rectangle et arrangeons-les de manière à former un carré plus petit au centre.

Ce carré au centre a pour côté la longueur de l'hypoténuse c.

Étape 3 : calculs de superficies

Superficie du grand carré :

\[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \]

Superficie des quatre triangles :

Chacun a pour aire :

\[ rac{1}{2}ab \]

Donc, les quatre triangles ont une superficie totale :

\[ 4 imes rac{1}{2}ab = 2ab \]

Superficie du carré central (au centre) :

Elle est égale à \( c^2 \).

Étape 4 : relation entre les superficies

La superficie totale du grand carré est égale à la somme de la superficie du carré central et des quatre triangles :

\[ (a + b)^2 = c^2 + 2ab \]

Conclusion

En développant le premier membre :

\[ a^2 + 2ab + b^2 = c^2 + 2ab \]

En soustrayant \( 2ab \) des deux côtés, on obtient :

\[ a^2 + b^2 = c^2 \]

Ce qui prouve le théorème de Pythagore !

Résumé

• On construit un grand carré avec 4 triangles pour visualiser la relation.
• Les superficies se mettent en relation pour montrer que \( c^2 = a^2 + b^2 \).