Preuve du Théorème de Pythagore

Introduction

Le théorème de Pythagore concerne les triangles rectangles. Il établit une relation entre les longueurs des côtés :

Si un triangle est rectangle avec l’hypoténuse \( c \) et les côtés adjacents \( a \) et \( b \), alors :

\[ a^2 + b^2 = c^2 \]

Preuve géométrique par mise en évidence

Nous allons démontrer cette relation en utilisant la géométrie des carrés construits sur les côtés du triangle.

Étape 1 : Construction

• Considérons un triangle rectangle \( ABC \) avec \( ngle C = 90^\circ \).
• Construisons un carré de côté \( a \) sur le côté \( AB \), nommé \( \square ABCD \).
• De même, construisons deux autres carrés : un de côté \( b \) sur le côté \( BC \) et un de côté \( c \) sur le côté \( AC \).

Étape 2 : Décomposition des carrés

En utilisant des propriétés géométriques, on peut montrer que :

• Le carré construit sur l’hypoténuse \( c \) peut être décomposé en deux carrés plus petits et deux rectangles, en utilisant la projection du triangle.
• Les carrés sur les côtés \( a \) et \( b \) peuvent être combinés pour couvrir exactement la même surface que le carré sur \( c \).

Étape 3 : Conclusion

Le calcul de surface montre que :

\[ a^2 + b^2 = c^2 \]

Ce qui prouve le théorème de Pythagore grâce à un raisonnement géométrique basé sur la répartition et la recomposition des carrés.

Résumé

Le théorème de Pythagore relie les longueurs dans un triangle rectangle, et sa preuve géométrique repose sur la construction et la décomposition des carrés sur les côtés.